Mitjana i variància

Donada la llista següent de dades numèriques: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la mitjana aritmètica i la variància de la distribució.

S'ha preguntat a un grup de persones pel nombre de vegades que van al cinema al mes. Els resultats mostren que $3$ persones hi van $1$ vegada, $5$ persones hi van $2$ vegades i $2$ persones hi van $3$ vegades. Calcula la mitjana d'aquesta distribució.

S'ha realitzat una enquesta a $40$ famílies sobre el nombre de mascotes que tenen a casa, i s'han obtingut els resultats següents: $10$ famílies no tenen mascotes, $15$ famílies tenen $1$ mascota, $10$ famílies tenen $2$ mascotes, i $5$ famílies tenen $3$ mascotes. Organitza les dades en una taula i calcula la mitjana, la variància i la desviació típica.

La mitjana de les edats d'un grup de $15$ amics és actualment de $16$ anys. Quina serà la mitjana de les seves edats d'aquí a $4$ anys? Justifica la teva resposta aplicant les propietats de la mitjana aritmètica.

Donades les dades $x_1, x_2, \dots, x_N$, demostra algebraicament que la suma de les seves desviacions respecte a la mitjana aritmètica sempre és igual a zero. És a dir, demostra pas a pas que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

En un estudi estadístic amb $N = 10$ dades, se sap que la suma de totes les dades és $\sum x_i = 50$ i la suma dels seus quadrats és $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la variància de la distribució.

El temps (en minuts) que triguen $50$ estudiants a arribar a l'institut des de casa seva s'agrupa en la taula de freqüències següent:

• $[0, 10)$: $10$ estudiants

• $[10, 20)$: $25$ estudiants

• $[20, 30)$: $15$ estudiants

Calcula el temps mitjà que triguen a arribar a l'institut i la desviació típica de la distribució.

Un professor va calcular que la nota mitjana dels seus $20$ alumnes en un examen era de $6,5$. Tanmateix, en revisar les correccions, es va adonar que va anotar per error un $3$ a un alumne que en realitat havia tret un $8$. Calcula quina és la nota mitjana correcta sense necessitat de tornar a sumar totes les notes individualment.

Els salaris mensuals dels treballadors d'una empresa petita tenen una mitjana de $1200$ € i una desviació típica de $150$ €. Per a l'any vinent, la direcció decideix aplicar un augment del $10\%$ a tots els sous i, a més, afegir un plus fix de $50$ €. Calcula la nova mitjana i la nova desviació típica dels salaris.

La temperatura màxima diària en una ciutat durant un mes té una mitjana de $25$ ºC i una desviació típica de $2$ ºC. Si convertim aquestes temperatures a graus Fahrenheit mitjançant la fórmula $F = 1,8 \cdot C + 32$, calcula el coeficient de variació en graus Fahrenheit i compara'l numèricament amb el coeficient de variació original en graus Celsius. Canvia la dispersió relativa en canviar d'escala?

En un institut de secundària, la classe de 4t A té $20$ alumnes amb una nota mitjana en Matemàtiques de $6$. La classe de 4t B té $30$ alumnes amb una nota mitjana de $7$. Si calculem la nota de tots els alumnes de totes dues classes en conjunt, quina serà la nota mitjana global?

Un grup de $10$ nois té una alçada mitjana de $160$ cm i una variància de $20$ cm$^2$. Un grup de $10$ noies té una alçada mitjana de $150$ cm i una variància de $15$ cm$^2$. Calcula la variància conjunta dels $20$ estudiants. (Pista: calcula primer la mitjana global i després la suma dels quadrats total emprant les fórmules de la variància de cada grup).