Introducció a l'estadística

Per conèixer les preferències musicals dels estudiants d'un institut de $850$ alumnes, el professor de música ha preguntat als $30$ alumnes de la seva classe de 4t d'ESO. Identifica la població, la mostra, la mida de la mostra i els individus d'aquest estudi estadístic.

Indica en quins dels casos següents és més convenient estudiar la població sencera i en quins cal seleccionar una mostra. Raona breument la teva resposta.

• Comprovar l'estat dels frens de tots els cotxes que fabrica una marca abans de vendre'ls.

• Estudiar la durada mitjana de les bombetes que produeix una fàbrica (tenint en compte que per comprovar-ho s'han de deixar enceses fins que es fonguin).

• Conèixer l'edat dels $25$ alumnes d'una classe.

• Conèixer el nivell de colesterol dels habitants d'un país.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues:

• El color dels ulls dels pacients d'un oftalmòleg.

• El nombre de llibres llegits en un any pels socis d'una biblioteca.

• La temperatura màxima diària registrada en una ciutat durant el mes d'agost.

• La marca de telèfon mòbil que utilitzen els professors d'una escola.

En un hospital es recullen les dades següents dels pacients ingressats a urgències: grup sanguini, nombre de pulsacions per minut, temperatura corporal en graus Celsius i nombre de vegades que han visitat urgències l'últim any. Classifica cadascuna d'aquestes quatre variables estadístiques i justifica per què la temperatura corporal i el nombre de pulsacions pertanyen a mecategories diferents.

A l'hora d'omplir un formulari, es demana als ciutadans que introdueixin el seu número de Document Nacional d'Identitat (DNI) i el codi postal del seu municipi. Encara que totes dues dades estan formades per xifres numèriques, des del punt de vista de l'estadística no es consideren variables quantitatives. Explica de quin tipus de variables es tracta i per què no té sentit calcular la mitjana aritmètica dels codis postals.

En una empresa tecnològica treballen $300$ programadors i $200$ dissenyadors gràfics. El departament de recursos humans vol fer una enquesta sobre el clima laboral seleccionant una mostra de $50$ empleats mitjançant un mostratge aleatori estratificat proporcional. Quants programadors i quants dissenyadors han de formar part de la mostra?

Un municipi està dividit en tres districtes: el districte Nord té $4\,500$ habitants, el districte Sud té $2\,700$ habitants i el districte Est té $1\,800$ habitants. L'ajuntament necessita seleccionar una mostra de $200$ persones aplicant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. Calcula pas a pas quants enquestats s'han d'extreure de cadascun dels tres districtes perquè la mostra sigui representativa.

El director d'un institut té una llista alfabètica amb els $600$ alumnes matriculats. Vol seleccionar una mostra de $30$ alumnes mitjançant un mostratge aleatori sistemàtic.

• Calcula el coeficient d'elevació (el salt entre un individu i el següent).

• Si el primer alumne triat a l'atzar és el que ocupa la posició número $12$ a la llista, indica quines posicions ocuparan els tres alumnes següents seleccionats per a la mostra.

En una sala de cinema hi ha $1\,200$ butaques numerades de l'$1$ al $1\,200$. El gerent vol enquestar $40$ espectadors.

• Explica com seleccionaries la mostra utilitzant un mostratge sistemàtic. Si el primer seient triat és el $17$, quin serà l'últim seient de la mostra?

• Si les butaques es divideixen en Platea ($800$ butaques) i Amfiteatre ($400$ butaques), explica com faries la selecció mitjançant un mostratge estratificat proporcional.

Durant un conflicte bélic, els enginyers militars van analitzar els avions bombarders que tornaven a la base amb impactes de foc enemic. Van observar que la majoria dels impactes eren a les ales i al fuselatge, per la qual cosa van proposar reforçar el blindatge en aquestes zones. Un estadístic es va oposar a aquesta decisió argumentant un greu biaix en la mostra. Identifica quina era la població total d'avions, quina era la mostra analitzada i explica estadísticament per què la conclusió dels enginyers era errònia (el que es coneix com a "biaix de supervivència").

Dues empreses d'enquestes volen predir el resultat d'unes eleccions nacionals. L'empresa A posa una enquesta a la pàgina principal d'un conegut diari esportiu d'internet i aconsegueix $50\,000$ respostes voluntàries. L'empresa B realitza trucades telefòniques a $1\,500$ persones seleccionades mitjançant un mostratge aleatori estratificat segons edat, sexe i província del cens electoral. Argumenta detalladament, basant-te en els conceptes de població, mostra, mida i representativitat, quina de les dues enquestes proporcionarà una predicció més fiable tot i la diferència enorme en la mida mostral.