Moviments i translacions
Un dron que es desplaça, una peça d'un engranatge que gira, un raig de llum que es reflecteix en un mirall: els tres són moviments del pla, i els tres es calculen amb fórmules molt senzilles en coordenades.
Translacions: moure segons un vector
Un dron de repartiment està en la posició $A(3, 5)$ i es desplaça seguint el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. Quines són les coordenades de la seva posició final $A'$?
Un dron de repartiment està en la posició $A(3, 5)$ i es desplaça seguint el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. Quines són les coordenades de la seva posició final $A'$?
En un tauler d'escacs gegant, una peça es mou des de la casella amb coordenades $P(-1, -3)$ fins a la casella $Q(4, 2)$. Determina les components del vector de…
En un tauler d'escacs gegant, una peça es mou des de la casella amb coordenades $P(-1, -3)$ fins a la casella $Q(4, 2)$. Determina les components del vector de translació $\vec{PQ}$.
Un robot aspirador es mou des de la seva base seguint el vector $\vec{u} = (2, 5)$ i després segueix el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base està en l'origen $O(0,0)$,…
Un robot aspirador es mou des de la seva base seguint el vector $\vec{u} = (2, 5)$ i després segueix el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base està en l'origen $O(0,0)$, quines són les coordenades de la seva posició final i quin vector únic $\vec{v}$ representa el desplaçament total?
Girs: centre i angle
Una peça d'un engranatge situada en el punt $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant de l'origen de coordenades $O(0, 0)$. En quina posició $K'$ quedarà…
Una peça d'un engranatge situada en el punt $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant de l'origen de coordenades $O(0, 0)$. En quina posició $K'$ quedarà la peça després del gir?
S'aplica un gir de $180^\circ$ a un senyal de trànsit circular amb centre en el punt $C(3, 4)$ i radi $2$. Quin punt exacte del senyal roman en la mateixa posició (és…
S'aplica un gir de $180^\circ$ a un senyal de trànsit circular amb centre en el punt $C(3, 4)$ i radi $2$. Quin punt exacte del senyal roman en la mateixa posició (és invariant) després del moviment?
Un braç robòtic articula en el punt $C(2, 1)$. La seva pinça es troba inicialment a $P(5, 3)$. Si el braç fa un gir de $180^\circ$ al voltant de l'articulació $C$,…
Un braç robòtic articula en el punt $C(2, 1)$. La seva pinça es troba inicialment a $P(5, 3)$. Si el braç fa un gir de $180^\circ$ al voltant de l'articulació $C$, quines seran les noves coordenades $P'$ de la pinça?
Simetries: respecte a un eix o a un punt
Un jardiner vol plantar un arbre en el punt $B'$, que ha de ser simètric a l'arbre situat a $B(2, -6)$ respecte al centre del jardí $C(0, 0)$. Calcula les coordenades de…
Un jardiner vol plantar un arbre en el punt $B'$, que ha de ser simètric a l'arbre situat a $B(2, -6)$ respecte al centre del jardí $C(0, 0)$. Calcula les coordenades de $B'$.
En el disseny d'un logotip, el punt $M(-4, 7)$ es reflecteix respecte de l'eix d'ordenades (eix Y). Quines són les coordenades del punt reflectit $M'$?
En el disseny d'un logotip, el punt $M(-4, 7)$ es reflecteix respecte de l'eix d'ordenades (eix Y). Quines són les coordenades del punt reflectit $M'$?
En una fàbrica de tèxtils, una màquina plega una tela al llarg de la recta horitzontal $y = 2$. Si un patró decoratiu està imprès en el punt $P(3, -1)$, quines seran les…
En una fàbrica de tèxtils, una màquina plega una tela al llarg de la recta horitzontal $y = 2$. Si un patró decoratiu està imprès en el punt $P(3, -1)$, quines seran les coordenades del patró $P'$ un cop plegada la tela?
Reconèixer i combinar moviments
Quan coneixes una figura i la seva imatge, pots identificar quin moviment s'ha aplicat mirant com canvien les coordenades: si totes sumen el mateix, és una translació; si és $(-x,-y)$, un gir de 180°; si canvia el signe d'una sola coordenada, una simetria respecte a un eix.
També pots encadenar moviments: primer un, i al resultat se li aplica el següent.
Un programa d'impressió 3D primer trasllada un vèrtex d'un sòlid mitjançant el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ i, a continuació, li aplica una simetria central respecte a…
Un programa d'impressió 3D primer trasllada un vèrtex d'un sòlid mitjançant el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ i, a continuació, li aplica una simetria central respecte a l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$. Si el vèrtex original estava en la posició $V(2, -3, 1)$, quina és la seva posició final $V'$?
En un estudi de transformacions geomètriques, els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ i $C(2, 4)$. Després d'aplicar un únic moviment en el pla, els nous…
En un estudi de transformacions geomètriques, els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ i $C(2, 4)$. Després d'aplicar un únic moviment en el pla, els nous vèrtexs resulten ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ i $C'(-2, -4)$. Identifica de quin tipus de moviment es tracta (translació, gir o simetria) i especifica els seus elements característics (vector, centre i angle, o eix). Justifica analíticament la teva resposta.
Aplicacions: reflexos, rebots i centres desconeguts
Les simetries resolen problemes de reflexió (un raig de llum, una bola de billar que rebota en una banda): el camí més curt que toca un «mirall» es calcula reflectint un dels punts i unint-los amb una recta.
Un raig làser s'emet des del punt $E(1, 5)$ i, després de reflectir-se en un mirall pla i paral·lel a l'eix X, impacta en el punt receptor $R(1, -1)$. Sabent que…
Un raig làser s'emet des del punt $E(1, 5)$ i, després de reflectir-se en un mirall pla i paral·lel a l'eix X, impacta en el punt receptor $R(1, -1)$. Sabent que l'abscissa no canvia i l'ordenada dels punts simètrics equidista del mirall, quina és l'equació de la recta que defineix la posició del mirall?
En una taula de billar, una bola està en la posició $A(2, 3)$. Un jugador la vol colpejar perquè impacti a la banda dreta (situada al llarg de la recta $x = 8$) i,…
En una taula de billar, una bola està en la posició $A(2, 3)$. Un jugador la vol colpejar perquè impacti a la banda dreta (situada al llarg de la recta $x = 8$) i, després de rebotar, colpegi una altra bola situada a $B(4, 7)$. Per a calcular la trajectòria, utilitza el punt simètric de $B$ respecte a la banda, anomenem-lo $B'$. Troba les coordenades de $B'$ i troba l'equació de la recta que uneix $A$ amb $B'$. En quin punt exacte $P$ de la banda rebotarà la bola?
Una peça triangular d'un mosaic històric amb un vèrtex a $P(2, 6)$ s'ha desprès i, en caure, ha girat exactament $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant d'un punt…
Una peça triangular d'un mosaic històric amb un vèrtex a $P(2, 6)$ s'ha desprès i, en caure, ha girat exactament $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant d'un punt desconegut $C(x, y)$, i el vèrtex ha quedat en la nova posició $P'(-4, 4)$. Sabent que en un gir de $90^\circ$ antihorari al voltant de l'origen un vector $(a, b)$ es transforma en $(-b, a)$, planteja les equacions corresponents a la transformació del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ i resol el sistema per trobar les coordenades del centre de gir $C$.