Teorema de Pitàgores
Ja coneixes el teorema de Pitàgores de cursos anteriors. A 4t d'ESO l'utilitzaràs d'una manera molt més versàtil: per trobar l'apotema d'un hexàgon, la diagonal d'una habitació sencera, o per plantejar equacions quan falten diverses dades alhora.
El teorema, una altra vegada però més a fons
Una escala de bombers es recolza a la façana d'un edifici. La base de l'escala està a $3\text{ m}$ de la paret i arriba a una altura de $4\text{ m}$ a la façana. Calcula…
Una escala de bombers es recolza a la façana d'un edifici. La base de l'escala està a $3\text{ m}$ de la paret i arriba a una altura de $4\text{ m}$ a la façana. Calcula la longitud total de l'escala.
Un màstil de telecomunicacions està subjectat per un cable tensat des del seu extrem superior fins a un punt a terra. El cable mesura $13\text{ m}$ i el màstil té una…
Un màstil de telecomunicacions està subjectat per un cable tensat des del seu extrem superior fins a un punt a terra. El cable mesura $13\text{ m}$ i el màstil té una altura de $12\text{ m}$. Determina a quina distància de la base del màstil està ancorat el cable a terra.
Diagonals i rombes
La diagonal d'un rectangle, el costat d'un rombe a partir de les seves diagonals, o la diagonal d'un quadrat són casos clàssics: sempre hi ha un triangle rectangle amagat entre dues mesures conegudes i la que busques.
Una plaça té forma de quadrat amb un costat de $50\text{ m}$. Si decideixes creuar-la en línia recta des d'una cantonada fins a la cantonada oposada, quina distància…
Una plaça té forma de quadrat amb un costat de $50\text{ m}$. Si decideixes creuar-la en línia recta des d'una cantonada fins a la cantonada oposada, quina distància recorreràs?
Per construir un estel amb forma de rombe, s'han creuat dues varetes de fusta que mesuren $60\text{ cm}$ i $80\text{ cm}$. Calcula la longitud de la vora exterior de…
Per construir un estel amb forma de rombe, s'han creuat dues varetes de fusta que mesuren $60\text{ cm}$ i $80\text{ cm}$. Calcula la longitud de la vora exterior de l'estel (el costat del rombe).
El perímetre d'una piscina amb forma de rombe és de $52\text{ m}$ i una de les seves diagonals mesura $10\text{ m}$. Calcula la longitud de l'altra diagonal i l'àrea de…
El perímetre d'una piscina amb forma de rombe és de $52\text{ m}$ i una de les seves diagonals mesura $10\text{ m}$. Calcula la longitud de l'altra diagonal i l'àrea de la superfície de la piscina.
Altures i apotemes en polígons
L'altura d'un triangle isòsceles, l'apotema d'un polígon regular o el costat inclinat d'un trapezi isòsceles es calculen igual: traçant l'altura, que sempre cau perpendicular i forma un triangle rectangle amb la meitat de la base.
Un senyal de trànsit té forma de triangle isòsceles. La seva base mesura $60\text{ cm}$ i cadascun dels dos costats iguals mesura $50\text{ cm}$. Calcula l'altura $h$…
Un senyal de trànsit té forma de triangle isòsceles. La seva base mesura $60\text{ cm}$ i cadascun dels dos costats iguals mesura $50\text{ cm}$. Calcula l'altura $h$ del senyal.
Un mosaic decoratiu està format per rajoles amb forma d'hexàgon regular de $10\text{ cm}$ de costat. Calcula l'apotema d'una d'aquestes rajoles.
Un mosaic decoratiu està format per rajoles amb forma d'hexàgon regular de $10\text{ cm}$ de costat. Calcula l'apotema d'una d'aquestes rajoles.
Una parcel·la de terreny té forma de trapezi rectangle. El costat perpendicular a les bases mesura $12\text{ m}$, la base major mesura $30\text{ m}$ i la base menor…
Una parcel·la de terreny té forma de trapezi rectangle. El costat perpendicular a les bases mesura $12\text{ m}$, la base major mesura $30\text{ m}$ i la base menor mesura $25\text{ m}$. Calcula el perímetre total de la parcel·la.
Cordes i circumferències
El radi d'una circumferència, la meitat d'una corda i la distància del centre a aquesta corda formen sempre un triangle rectangle: és la relació que resol problemes de canonades, canals o circumferències circumscrites.
Una canonada cilíndrica transporta aigua. El radi de la canonada és de $13\text{ cm}$ i la superfície de l'aigua forma una corda horitzontal de $24\text{ cm}$ d'amplada.…
Una canonada cilíndrica transporta aigua. El radi de la canonada és de $13\text{ cm}$ i la superfície de l'aigua forma una corda horitzontal de $24\text{ cm}$ d'amplada. Si el nivell de l'aigua està per sota del centre de la canonada, quina és la profunditat màxima de l'aigua $h$?
En una peça circular de fusta de $25\text{ cm}$ de radi, es fan dos talls rectes i paral·lels. Un dels talls té una longitud de $48\text{ cm}$ i l'altre de…
En una peça circular de fusta de $25\text{ cm}$ de radi, es fan dos talls rectes i paral·lels. Un dels talls té una longitud de $48\text{ cm}$ i l'altre de $40\text{ cm}$. Si tots dos talls es fan a costats oposats del centre del cercle, calcula la distància perpendicular que separa els dos talls.
Un logotip està format per un triangle isòsceles inscrit en una circumferència. La base del triangle mesura $16\text{ cm}$ i la seva altura relativa a la base mesura…
Un logotip està format per un triangle isòsceles inscrit en una circumferència. La base del triangle mesura $16\text{ cm}$ i la seva altura relativa a la base mesura $18\text{ cm}$. Calcula el radi de la circumferència en què està inscrit el triangle.
Pitàgores a l'espai
En tres dimensions, Pitàgores s'aplica dues vegades seguides: primer sobre una cara per obtenir una diagonal plana, i després combinant aquesta diagonal amb l'altura per obtenir la diagonal espacial.
Per transportar una barra de metall rígida, es disposa d'una caixa amb forma d'ortoedre (prisma rectangular) les dimensions de la qual són $80\text{ cm}$ de llargada,…
Per transportar una barra de metall rígida, es disposa d'una caixa amb forma d'ortoedre (prisma rectangular) les dimensions de la qual són $80\text{ cm}$ de llargada, $60\text{ cm}$ d'amplada i $50\text{ cm}$ d'altura. Calcula la longitud màxima que pot tener la barra perquè hi quedi completament tancada a dins.
Una habitació té forma d'ortoedre de dimensions $5\text{ m}$ de llargada, $4\text{ m}$ d'amplada i $3\text{ m}$ d'altura. Una aranya es troba en un cantó del sostre i…
Una habitació té forma d'ortoedre de dimensions $5\text{ m}$ de llargada, $4\text{ m}$ d'amplada i $3\text{ m}$ d'altura. Una aranya es troba en un cantó del sostre i vol arribar al cantó oposat del terra caminant per les parets, el sostre o el terra. Si l'aranya agafa el camí més curt possible, calcula aquesta distància. (Pista: imagina el desenvolupament pla de l'habitació).
Pitàgores amb equacions
Quan no coneixes cap costat per complet, només relacions entre ells, Pitàgores es converteix en una equació (o un sistema) que cal resoldre.
En un jardí, es vol delimitar una zona amb forma de triangle rectangle. Es sap que les longituds dels seus tres costats són tres nombres enters parells consecutius.…
En un jardí, es vol delimitar una zona amb forma de triangle rectangle. Es sap que les longituds dels seus tres costats són tres nombres enters parells consecutius. Planteja l'equació corresponent fent servir el teorema de Pitàgores i determina les longituds dels tres costats.
Un pont té una estructura lateral en forma de trapezi escalè. Les bases horitzontals mesuren $40\text{ m}$ i $26\text{ m}$, i els costats oblics mesuren $13\text{ m}$ i…
Un pont té una estructura lateral en forma de trapezi escalè. Les bases horitzontals mesuren $40\text{ m}$ i $26\text{ m}$, i els costats oblics mesuren $13\text{ m}$ i $15\text{ m}$. Plantejant un sistema d'equacions amb el teorema de Pitàgores, calcula l'altura del trapezi.
Dues torres de $15\text{ m}$ i $20\text{ m}$ d'altura estan separades per una distància horitzontal desconeguda. Un ocell vola en línia recta des del cim de la torre de…
Dues torres de $15\text{ m}$ i $20\text{ m}$ d'altura estan separades per una distància horitzontal desconeguda. Un ocell vola en línia recta des del cim de la torre de $15\text{ m}$ fins a la base de la torre de $20\text{ m}$, i recorre exactament $25\text{ m}$. Calcula la distància entre les bases de les torres. A continuació, si un altre ocell vola en línia recta des del cim de la torre de $20\text{ m}$ fins a la base de la torre de $15\text{ m}$, quina distància recorrerà?