Funcions exponencials
Un compte que es fa viral triplica els seguidors cada dia. Una mostra radioactiva perd la meitat de la seva massa cada cert temps. En els dos casos, la quantitat no canvia sumant sempre el mateix (com en una recta), sinó multiplicant sempre pel mateix factor. Això és creixement o decreixement exponencial, i la variable ja no és a la base sinó a l'exponent.
La funció exponencial
-
Totes les funcions $y=a^x$ passen per $(0,1)$, perquè $a^0=1$ sempre.
-
També passen per $(1,a)$.
Dada la funció exponencial $f(x) = 2^x$, calcula les imatges per als valors $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.
Dada la funció exponencial $f(x) = 2^x$, calcula les imatges per als valors $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.
La gràfica d'una funció exponencial del tipus $f(x) = a^x$ passa pel punt $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
La gràfica d'una funció exponencial del tipus $f(x) = a^x$ passa pel punt $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
Creixement si $a>1$, decreixement si $0<a<1$
Indica, raonant la teva resposta, quines de les funcions exponencials següents són creixents i quines són decreixents: a) $f(x) = 1,2^x$ b) $g(x) = 0,7^x$ c)…
Indica, raonant la teva resposta, quines de les funcions exponencials següents són creixents i quines són decreixents:
-
a) $f(x) = 1,2^x$
-
b) $g(x) = 0,7^x$
-
c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$
-
d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
Observa les gràfiques A i B representades a la figura següent. Associa cadascuna d'elles amb la seva expressió analítica corresponent: $y = 3^x$ o…
Observa les gràfiques A i B representades a la figura següent. Associa cadascuna d'elles amb la seva expressió analítica corresponent: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.
Troba el valor de $x$ en les igualtats exponencials elementals següents: a) $2^x = 64$ b) $3^x = \frac{1}{9}$
Troba el valor de $x$ en les igualtats exponencials elementals següents:
-
a) $2^x = 64$
-
b) $3^x = \frac{1}{9}$
L'asímptota horitzontal i les translacions
A $g(x)=a^{x-p}+q$, l'exponent $x-p$ desplaça la corba $p$ unitats en horitzontal, i el $+q$ final la desplaça $q$ unitats en vertical, arrossegant amb ella l'asímptota: la nova asímptota és $y=q$.
Determina el domini, el recorregut i el punt de tall amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Determina el domini, el recorregut i el punt de tall amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Representa gràficament la funció $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborant prèviament una taula de valors. Indica quina és l'equació de la seva asímptota horitzontal i calcula les…
Representa gràficament la funció $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborant prèviament una taula de valors. Indica quina és l'equació de la seva asímptota horitzontal i calcula les coordenades del seu punt de tall amb l'eix d'ordenades.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Troba, de forma analítica, les coordenades exactes dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Troba, de forma analítica, les coordenades exactes dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Equacions exponencials elementals
Quan els dos costats es poden escriure amb la mateixa base, n'hi ha prou d'igualar els exponents. Si apareixen diversos termes amb la mateixa base en diferent exponent, s'extreu factor comú.
Resol les equacions exponencials següents igualant les bases a tots dos costats de la igualtat: a) $5^{2x-1} = 125$ b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Resol les equacions exponencials següents igualant les bases a tots dos costats de la igualtat:
-
a) $5^{2x-1} = 125$
-
b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Resol la següent equació exponencial treient factor comú prèviament: $3^x + 3^{x+1} = 36$
Resol la següent equació exponencial treient factor comú prèviament:
$3^x + 3^{x+1} = 36$
Resol la següent equació exponencial aplicant les propietats de les potències i treient factor comú: $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Resol la següent equació exponencial aplicant les propietats de les potències i treient factor comú:
$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Interès compost i desintegració
Una família ingressa $2000$ € en un compte bancari que ofereix un interès compost del $4 \%$ anual. Quin capital tindran al cap de $2$ anys si no retiren cap diner del…
Una família ingressa $2000$ € en un compte bancari que ofereix un interès compost del $4 \%$ anual. Quin capital tindran al cap de $2$ anys si no retiren cap diner del compte?
El nombre de seguidors d'un compte que s'acaba de fer viral es triplica cada dia. Si inicialment té $100$ seguidors, escriu la funció que relaciona el nombre de…
El nombre de seguidors d'un compte que s'acaba de fer viral es triplica cada dia. Si inicialment té $100$ seguidors, escriu la funció que relaciona el nombre de seguidors amb el temps transcorregut en dies, i calcula quants seguidors hi haurà al cap de $3$ dies.
Un inversor desitja obtenir un capital final de $5000$ € d'aquí a $5$ anys. Si el seu banc li ofereix un dipòsit amb un interès compost del $3 \%$ anual, quin capital…
Un inversor desitja obtenir un capital final de $5000$ € d'aquí a $5$ anys. Si el seu banc li ofereix un dipòsit amb un interès compost del $3 \%$ anual, quin capital inicial ha d'invertir avui per aconseguir el seu objectiu? (Arrodoneix el resultat als cèntims).
Una mostra d'un isòtop radioactiu té una massa inicial de $200$ grams. Se sap que la seva massa es redueix a la meitat cada $10$ anys. Escriu l'expressió analítica de la…
Una mostra d'un isòtop radioactiu té una massa inicial de $200$ grams. Se sap que la seva massa es redueix a la meitat cada $10$ anys. Escriu l'expressió analítica de la funció que dóna la massa restant en funció del temps (en anys) i calcula quants grams quedaran exactament al cap de $30$ anys.
El preu d'un telèfon mòbil d'alta gamma acabat de sortir al mercat és de $800$ €. A causa de l'obsolescència tecnològica, el seu valor es deprecia un $20 \%$ cada any.…
El preu d'un telèfon mòbil d'alta gamma acabat de sortir al mercat és de $800$ €. A causa de l'obsolescència tecnològica, el seu valor es deprecia un $20 \%$ cada any. Escriu la funció que modelitza el preu del mòbil en funció dels anys transcorreguts i calcula quin serà el seu valor al cap de $4$ anys.
L'evolució d'una determinada plaga d'insectes segueix un model exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, on $N(t)$ és el nombre d'insectes i $t$ és el temps en…
L'evolució d'una determinada plaga d'insectes segueix un model exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, on $N(t)$ és el nombre d'insectes i $t$ és el temps en setmanes. Sabent que en l'instant inicial ($t=0$) hi havia $5$ insectes i que a les $2$ setmanes hi havia $45$ insectes, calcula els valors de les constants $k$ i $a$. A continuació, determina quants insectes hi haurà a les $4$ setmanes.
Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'una tassa de te en una habitació es modelitza mitjançant la funció $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, on $T(t)$ és…
Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'una tassa de te en una habitació es modelitza mitjançant la funció $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, on $T(t)$ és la temperatura en graus Celsius i $t$ és el temps en minuts transcorregut des que es va servir.
-
a) Quina era la temperatura inicial del te?
-
b) Quina és la temperatura ambient de l'habitació? (Raona què passa quan el temps $t$ es fa molt gran).
-
c) Planteja l'equació per calcular en quin minut la temperatura del te serà exactament de $55$ ºC i resol-la.
La farmacocinètica estudia com s'elimina un medicament del cos humà. A un pacient se li administra una dosi inicial de $50$ mg d'un fàrmac. La quantitat en sang…
La farmacocinètica estudia com s'elimina un medicament del cos humà. A un pacient se li administra una dosi inicial de $50$ mg d'un fàrmac. La quantitat en sang disminueix exponencialment de manera que cada $6$ hores la quantitat es redueix a la meitat.
-
a) Escriu la funció $C(t)$ que expressa els mil·ligrams de fàrmac en sang en funció del temps $t$ mesurat en hores.
-
b) Quina quantitat de fàrmac quedarà a la sang del pacient al cap d'un dia sencer ($24$ hores)?
Torna al principi: Si el compte que es fa viral parteix de $50$ seguidors i els triplica cada dia, la funció és $S(t) = 50 \cdot 3^t$, per la qual cosa als $4$ dies tindrà $50 \cdot 3^4 = 50 \cdot 81 = 4050$ seguidors.