Nombres irracionals
Saps que $\sqrt{4} = 2$ és exacte. Però, quant val $\sqrt{2}$? La calculadora dona $1,4142135\ldots$ i no s'acaba mai ni es repeteix. Això no és una limitació de la calculadora: es pot demostrar que $\sqrt{2}$ mai no es podrà escriure com una fracció.
Què és un nombre irracional
Hi ha tres famílies típiques d'irracionals en aquest curs: arrels no exactes ($\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$), constants com $\pi$ o el nombre d'Euler $e$, i decimals construïts a propòsit sense període, com $0,1010010001\ldots$
Classifica els nombres següents indicant quins pertanyen al conjunt dels nombres irracionals i quins no. Justifica la teva resposta basant-te en la seva expressió…
Classifica els nombres següents indicant quins pertanyen al conjunt dels nombres irracionals i quins no. Justifica la teva resposta basant-te en la seva expressió decimal:
- a) $3,14159$
- b) $\sqrt{7}$
- c) $\frac{22}{7}$
- d) $1,1010010001...$
- e) $\sqrt{25}$
Identifica quin patró segueixen les xifres decimals del nombre següent i explica per què es considera un nombre irracional: $x = 0,12345678910111213...$
Identifica quin patró segueixen les xifres decimals del nombre següent i explica per què es considera un nombre irracional:
$x = 0,12345678910111213...$
La irracionalitat de $\sqrt{2}$: una demostració
Aquesta és una de les demostracions més antigues de les matemàtiques (els grecs ja la coneixien). Fa servir el mètode de reducció a l'absurd: suposem el contrari del que volem provar i arribem a una contradicció.
En el disseny d'un logotip s'utilitza un triangle equilàter inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm, com es mostra a la figura. Sabent que en un triangle…
En el disseny d'un logotip s'utilitza un triangle equilàter inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm, com es mostra a la figura.
Sabent que en un triangle equilàter el radi $R$ és el doble de l'apotema $a$, calcula el valor exacte de l'apotema $a$. Després, utilitza el teorema de Pitàgores per trobar la longitud exacta del costat $L$. Demostra que el perímetre del triangle és un nombre irracional.
Construcció geomètrica amb el teorema de Pitàgores
Encara que $\sqrt{2}$ no sigui una fracció, sí que ocupa un punt exacte de la recta real: es construeix amb un triangle rectangle i un compàs.
Per representar el nombre irracional $\sqrt{13}$ a la recta numèrica utilitzant el teorema de Pitàgores, necessitem trobar dos nombres enters els quadrats dels quals…
Per representar el nombre irracional $\sqrt{13}$ a la recta numèrica utilitzant el teorema de Pitàgores, necessitem trobar dos nombres enters els quadrats dels quals sumin $13$. Indica quins són aquests dos nombres i dibuixa un esbós mental de com formaries el triangle rectangle.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Observa la següent representació gràfica a la recta numèrica. S'ha construït un triangle rectangle recolzat sobre l'eix horitzontal. Calcula el valor exacte de la…
Observa la següent representació gràfica a la recta numèrica. S'ha construït un triangle rectangle recolzat sobre l'eix horitzontal.
Calcula el valor exacte de la hipotenusa $h$. Quin nombre irracional representa el punt vermell $X$ sobre la recta numèrica?
Operant amb irracionals
Les operacions entre irracionals no sempre donen irracional: depèn de si es «cancel·len» entre elles.
Calcula el resultat de les operacions següents i classifica el resultat final com a racional o irracional: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$ c)…
Calcula el resultat de les operacions següents i classifica el resultat final com a racional o irracional:
- a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
- b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
- c) $(\sqrt{5})^2$
- d) $\pi - \pi$
En una classe de matemàtiques, el professor proposa el següent repte: «Si a un nombre irracional li sumem un altre nombre irracional, el resultat sempre és irracional?».…
En una classe de matemàtiques, el professor proposa el següent repte: «Si a un nombre irracional li sumem un altre nombre irracional, el resultat sempre és irracional?».
Troba dos nombres irracionals diferents la suma dels quals sigui un nombre racional enter i demostra amb operacions algebraiques senzilles que això és possible.
$\mathbb{R}$: racionals i irracionals junts
Igual que $\mathbb{Q}$ és dens, els irracionals també ho són: entre dos nombres reals qualssevol hi ha sempre infinits racionals i infinits irracionals. Per això la recta real no té buits: cada punt, racional o irracional, correspon a un únic nombre real, i viceversa.
Ordena de menor a major els nombres reals següents. Per fer-ho, pots ajudar-te de les seves aproximacions decimals: $3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ ,…
Ordena de menor a major els nombres reals següents. Per fer-ho, pots ajudar-te de les seves aproximacions decimals:
$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$
Torna al principi: quant val exactament $\sqrt{2}$? El seu valor exacte és el propi radical $\sqrt{2}$ (o la hipotenusa d'un triangle de catets $1$ i $1$); qualsevol valor amb xifres decimals com $1{,}4142$ és únicament una aproximació.