Sistemas de ecuaciones lineales
En un corral hay vacas y gallinas: 35 cabezas y 110 patas en total. Una sola ecuación no basta para dos incógnitas, pero aquí tienes dos pistas: el número de cabezas y el número de patas. Juntando las dos ecuaciones que generan, el problema queda resuelto. Eso es un sistema.
Qué es un sistema de dos ecuaciones
Comprobar es sustituir en ambas: $20 + 15 = 35$ ✓ y $4 \cdot 20 + 2 \cdot 15 = 80 + 30 = 110$ ✓. Si solo cumple una, no vale como solución del sistema.
Comprueba si el par de valores $x = 3$, $y = -2$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos. $$ \begin{cases} 4x + 3y…
Comprueba si el par de valores $x = 3$, $y = -2$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
$$ \begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ -2x + 5y = -16 \end{cases} $$En una granja hay vacas y gallinas. Si en total se cuentan $35$ cabezas y $110$ patas, plantea un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos animales hay de…
En una granja hay vacas y gallinas. Si en total se cuentan $35$ cabezas y $110$ patas, plantea un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos animales hay de cada clase.
Significado gráfico: dos rectas
Cada ecuación del sistema es una recta. La solución del sistema es el punto donde se cortan.
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determina la solución del sistema a partir de la gráfica y…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determina la solución del sistema a partir de la gráfica y clasifícalo según su número de soluciones.
Clasificar sin resolver: comparando coeficientes
Puedes saber de qué tipo es un sistema sin resolverlo, solo comparando las razones entre coeficientes de $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$.
Clasifica los siguientes sistemas en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles, analizando la proporción entre sus coeficientes, sin necesidad…
Clasifica los siguientes sistemas en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles, analizando la proporción entre sus coeficientes, sin necesidad de resolverlos. Justifica tu respuesta en cada caso.
- a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
- b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
- c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $
Clasificar sin dividir entre cero
Para dos ecuaciones que representen rectas, si $a_1b_2-a_2b_1\ne0$, hay una única solución. Si vale cero, compara las filas $(a_1,b_1,c_1)$ y $(a_2,b_2,c_2)$: coeficientes proporcionales y constantes en la misma proporción dan la misma recta; si las constantes no guardan esa proporción, no hay solución. Una ecuación $0x+0y=0$ no impone condición; $0x+0y=c$ con $c\ne0$ es imposible.
Por ejemplo, $x=2$, $y=3$ tiene solución única $(2,3)$, aunque el método de los cocientes dividiría entre cero.
Sistemas con parámetro
Cuando un sistema tiene una letra además de $x$ e $y$ (un parámetro, normalmente $k$), puedes usar la misma comparación de coeficientes para estudiar cómo cambia el tipo de sistema según su valor.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $k$. Determina para qué valor de $k$ el sistema tiene infinitas soluciones, para cuál no tiene…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $k$. Determina para qué valor de $k$ el sistema tiene infinitas soluciones, para cuál no tiene solución y para cuáles tiene una solución única.
$$ \begin{cases} kx + 2y = 6 \\ 3x + (k-1)y = 9 \end{cases} $$Profundización: sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
La misma idea se extiende a tres incógnitas con tres ecuaciones. La herramienta habitual es el método de Gauss: usar la reducción para ir eliminando incógnitas hasta dejar una ecuación escalonada con una sola.
Una vez escalonado, se resuelve de abajo hacia arriba: primero $z$, luego se sustituye para hallar $y$, y por último $x$.
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de reducción (método de Gauss): $$ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z…
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de reducción (método de Gauss):
$$ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 10 \\ -x + 3y + 2z = 5 \end{cases} $$