Exercicis: Sistemes d'equacions lineals

Comprova si el parell de valors $x = 3$, $y = -2$ és solució del sistema d'equacions següent. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de substitució:

Aplica el mètode d'igualació per trobar la solució del sistema següent:

Utilitza el mètode de reducció per resoldre el sistema d'equacions següent:

Observa la representació gràfica següent d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Determina la solució del sistema a partir de la gràfica i classifica'l segons el seu nombre de solucions.

La diferència entre dos nombres és $14$ i el doble del major més el menor és igual a $55$. Planteja un sistema d'equacions i calcula el valor de tots dos nombres.

En una granja hi ha vaques i gallines. Si en total es compten $35$ caps i $110$ potes, planteja un sistema d'equacions lineals per esbrinar quants animals hi ha de cada classe.

Calcula el valor dels coeficients $a$ i $b$ perquè el parell $(x, y) = (2, -1)$ sigui la solució del sistema d'equacions següent:

Marcos vol classificar el següent sistema d'equacions lineals sense resoldre'l numèricament:

En la seva llibreta ha escrit: «Comprovo les raons dels coeficients: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$. Com que els dos quocients coincideixen, les dues rectes són la mateixa i el sistema és compatible indeterminat (té infinites solucions)».

1. a) Troba l'error conceptual comès per Marcos i explica per què la seva anàlisi està incompleta recolzant-te en la relació entre els quocients $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ i $\dfrac{c_1}{c_2}$.
2. b) Corregeix la classificació: quantes solucions té realment aquest sistema i quina posició relativa tenen les dues rectes en el pla cartesià?

En un cinema de Valladolid, el preu de l'entrada ordinària és de $8,50$ € i el de l'entrada bonificada amb Carnet Jove és de $6,00$ €. Un grup de 10 amics va anar divendres al cinema i va abonar a taquilla un total de $67,50$ € per les seves entrades.

1. a) Identifica amb claredat les incògnites $x$ i $y$ i escriu el sistema de dues equacions lineals que modelitza aquesta situació de compra.
2. b) Sense resoldre algebraicament el sistema, comprova mitjançant substitució si el grup va poder estar compost per 5 persones amb entrada ordinària i 5 amb Carnet Jove.
3. c) Resol el sistema pel mètode algebraic que prefereixis i determina exactament quants amics van comprar cada tipus d'entrada.

Resol el sistema d'equacions lineals següent, operant prèviament per simplificar els parèntesis i els denominadors:

Fa $4$ anys, l'edat d'un pare era el quàdruple de l'edat de la seva filla. D'aquí a $8$ anys, l'edat del pare serà el doble que la de la filla. Planteja un sistema d'equacions i determina les edats actuals de tots dos.

Una perfumeria barreja dos tipus de colònies: una costa $12$ €/litre i l'altra $20$ €/litre. Volen obtenir una barreja de $50$ litres que tingui un preu final de $15$ €/litre. Quants litres de cada tipus de colònia han de fer servir?

Classifica els sistemes següents en compatibles determinats, compatibles indeterminats o incompatibles, analitzant la proporció entre els seus coeficients, sense necessitat de resoldre'ls. Justifica la teva resposta en cada cas.

1. a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
2. b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
3. c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $

Un tren de mercaderies surt d'una estació a una velocitat constant de $80$ km/h. Una hora i mitja després, surt de la mateixa estació i en la mateixa direcció un tren de passatgers a $120$ km/h. Planteja un sistema d'equacions per esbrinar quant de temps trigarà el tren de passatgers a aconseguir el de mercaderies i a quina distància de l'estació ho farà.

Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de reducció (mètode de Gauss):

En un examen tipus test de $50$ preguntes, s'atorguen $3$ punts per cada resposta correcta i es resta $1$ punt per cada resposta incorrecta o en blanc. Si un estudiant ha obtingut $98$ punts en total, quantes preguntes va respondre correctament i quantes va fallar o va deixar en blanc?

Es té un rectangle de dimensions desconegudes. Si s'augmenta la base en $3$ cm i es disminueix l'altura en $2$ cm, l'àrea del rectangle no varia. D'altra banda, si es disminueix la base en $2$ cm i s'augmenta l'altura en $4$ cm, l'àrea augmenta en $16$ cm$^2$. Planteja un sistema d'equacions lineals per calcular les dimensions originals del rectangle.

Per resoldre el sistema d'equacions:

tres companys de classe plantegen camins diferents:

• La Lucía proposa aïllar $x$ a la primera equació i aplicar el mètode de substitució.

• En Sergio suggereix restar directament la segona equació de la primera per aplicar el mètode de reducció.

• La Raquel prefereix aïllar la incògnita $y$ en totes dues equacions i dibuixar amb regle les dues rectes en uns eixos de coordenades per localitzar el punt de tall.

1. a) Compara les tres propostes i justifica quina resulta més directa, ràpida i amb menor risc de càlcul. Raona la teva elecció fixant-te en els coeficients de les variables.
2. b) Assenyala quina limitació tècnica tindria el mètode gràfic de la Raquel en cas que la solució del sistema fos un parell de nombres no enters (per exemple, amb fraccions o decimals periòdics).
3. c) Resol el sistema emprant el mètode algebraic que hagis considerat més convenient en l'apartat a).

Segons dades de l'Enquesta d'Ocupació Hotelera de l'INE, els allotjaments rurals registren pics d'ocupació en ponts festius. Un hotel rural a La Palma disposa de 50 habitacions en total, repartides entre 'estàndard' (a $70$ € la nit) i 'superior amb terrassa' (a $100$ € la nit). Durant un cap de setmana festiu en què va estar al $100\,\%$ d'ocupació, la recaptació per nit va ascendir a $4.100$ €.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima de manera justificada si l'hotel té més habitacions estàndard o més superiors. Pista: calcula mentalment o en brut què hauria recaptat l'hotel si totes les habitacions fossin estàndard i què hauria recaptat si totes fossin superiors.
2. b) Planteja i resol el sistema d'equacions lineals per calcular el nombre exacte d'habitacions de cada classe que té l'establiment.
3. c) Comprova si el resultat exacte coincideix amb l'estimació que has fet a l'apartat a) i calcula quin percentatge del total representen les habitacions superiors.

Discuteix el següent sistema d'equacions en funció del paràmetre $k$. Determina per a quins valors de $k$ el sistema no té solució i per a quins té una solució única.

La suma de les tres xifres d'un nombre és $15$. La xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues xifres. Si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre obtingut supera l'original en $396$. Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i troba el nombre original.

Dos obrers, treballant junts, poden acabar una obra en $12$ dies. Si el primer obrer treballa durant $3$ dies i el segon durant $8$ dies, completen exactament els $\frac{5}{12}$ d'aquesta. Planteja un sistema d'equacions (suggeriment: utilitza les incògnites auxiliars $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$) per calcular quants dies trigaria cada obrer a fer l'obra completa treballant sol.

Resol el sistema d'equacions no lineals següent realitzant un canvi de variable adequat (per exemple, $A = \frac{1}{x+1}$, $B = \frac{1}{y-2}$):

Un inversor divideix el seu capital de $60\,000$ € en tres fons d'inversió: A, B i C. El fons A li proporciona una rendibilitat anual del $4\%$, el fons B del $6\%$ i el fons C del $9\%$. Sabent que va invertir en el fons C la mateixa quantitat que en els fons A i B junts, i que el benefici total anual va ser de $4\,050$ €, planteja un sistema de tres equacions lineals i calcula quants diners va destinar a cada fons.

El perímetre d'un triangle isòsceles és de $40$ cm. Si la base augmentés un $25\%$ i els costats iguals disminuïssin un $10\%$, el triangle es convertiria en equilàter. Planteja un sistema d'equacions per determinar les longituds dels costats del triangle original.

Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites, operant acuradament amb les fraccions abans d'aplicar el mètode de Gauss o un altre mètode de resolució:

Una barca navega per un riu. Quan viatja a favor del corrent, recorre una distància de $60$ km en $3$ hores. Quan viatja en contra del corrent, triga $5$ hores a recorrer la mateixa distància. Planteja un sistema d'equacions per calcular la velocitat de la barca en aigües tranquil·les i la velocitat del corrent del riu.

Dissenya tu mateix un sistema de dues equacions lineals amb incògnites $x$ i $y$ complint les següents condicions pas a pas:

1. a) Escriu una primera equació lineal els coeficients de la qual $a_1$ i $b_1$ siguin nombres enters no nuls i diferents d'$1$ i de $-1$, de manera que es verifiqui per a la solució particular $x = 3$, $y = -1$.
2. b) Construeix una segona equació que formi juntament amb la primera un sistema compatible determinat la única solució del qual sigui el parell $(3, -1)$. Demostra que la solució és única comprovant la condició dels quocients $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$.
3. c) Modifica únicament els coeficients de les incògnites ($a_2$ i $b_2$) de la teva segona equació per transformar el sistema en incompatible. Demostra que es compleix la condició $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ i explica quin ajust hauries de fer sobre el terme independent $c_2$ perquè el sistema admeti infinites solucions.

A Espanya, la tarifa elèctrica regulada domèstica (2.0TD) divideix el consum diari en dues franges principals d'energia: hores punta (tarifa cara: $0,22$ €/kWh) i hores vall (tarifa econòmica: $0,12$ €/kWh). Durant el mes d'octubre, una família de Toledo va consumir un total de $280$ kWh i l'import corresponent a l'energia facturada va ser de $45,60$ €.

1. a) Planteja el sistema d'equacions lineals i calcula quants kWh va consumir la família en hores punta i quants en hores vall a l'octubre.
2. b) Al novembre, la família va encendre els acumuladors i el seu consum total va pujar a $300$ kWh (un consum superior al del mes anterior). Tanmateix, en programar els electrodomèstics en horari nocturn, la factura del terme d'energia va baixar a $44,00$ €. Planteja el nou sistema i determina el consum punta i vall de novembre.
3. c) Calcula el percentatge de consum en horari vall que va tenir la llar a l'octubre i al novembre. A partir d'aquests percentatges, raona matemàticament com és possible que consumint $20$ kWh més en total al novembre hagin aconseguit pagar menys a la factura.