Exercicis: Tendència i periodicitat

Observa la gràfica següent que representa l'oscil·lació d'un pèndol al llarg del temps $t$ (en segons), mesurant el seu desplaçament $d$ (en centímetres) respecte de la posició d'equilibri.

Determina el període de la funció periòdica representada, la seva amplitud, i els valors màxim i mínim que assoleix.

Observa la gràfica següent que representa el nivell d'aigua en un tanc (en metres) al llarg del temps (en segons). Determina el període de la funció representada i calcula quin serà el nivell de l'aigua a $t = 45$ i a $t = 50$.

Una màquina d'envasament industrial emet un xiulit d'advertència cada $45$ segons de forma constant. Si el primer xiulit es produeix en l'instant $t = 0$, determina si la màquina emetrà un xiulit en $t = 300$ segons i en $t = 360$ segons.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcula els valors de $f(10)$, $f(100)$ i $f(1000)$. A partir d'aquests resultats, dedueix a quin valor tendeix la funció quan $x$ es fa infinitament gran.

Una funció $f(x)$ és estrictament periòdica i el seu període és $T = 6$. Es coneixen els valors següents en el seu primer cicle: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ i $f(6) = 3$. Calcula els valors exactes de $f(26)$ i $f(40)$.

La temperatura d'una tassa de cafè acabada de servir és de $80^\circ\text{C}$. En deixar-la reposar en una habitació, la seva temperatura disminueix amb el temps, i es modelitza mitjançant una funció $T(t)$ que presenta una asímptota horitzontal a $y = 22$. Quin significat físic té aquest valor de $22$ en el context del problema?

Indica quin és el període exacte de les funcions trigonomètriques elementals $f(x) = \text{sen}(x)$ i $g(x) = \text{cos}(x)$. Si $\text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, quin serà el valor de $\text{sen}(\frac{13\pi}{6})$?

La llum d'un far marítim gira a velocitat constant, donant una volta completa cada $12$ segons. Si en l'instant $t = 3$ segons el feix de llum il·lumina directament un vaixell proper, en quins altres instants exactes durant el primer minut ($60$ segons) el tornarà a il·luminar?

Observa la gràfica de la funció $T(t)$, que representa l'evolució de la temperatura d'un component electrònic d'un servidor en funció del temps d'encesa. A quin valor tendeix la temperatura a llarg termini?

Un semàfor del centre de València té un cicle de fases programat que es repeteix periòdicament cada $80\text{ s}$ ($T = 80\text{ s}$). En cada cicle, el semàfor roman en verd durant els primers $40\text{ s}$ ($0 \le t < 40$), en ambre durant els següents $5\text{ s}$ ($40 \le t < 45$) i en vermell durant els últims $35\text{ s}$ ($45 \le t < 80$). Per esbrinar en quin color estarà el semàfor exactament als $t = 345\text{ s}$ d'iniciar-se la seqüència, en Mateo fa la divisió $345 : 80 = 4,3125$ i afirma: «Com que el resultat comença per $4$, el semàfor es troba en el segon $4$ del seu cicle, per la qual cosa la llum estarà verda». a) Assenyala amb precisió quin és l'error en el raonament d'en Mateo i explica què representen realment el nombre enter $4$ i la part decimal $0,3125$ en aquest context. b) Corregeix el càlcul determinant quants cicles complets s'han realitzat i en quin segon exacte del cicle actual es troba el semàfor a $t = 345\text{ s}$. Quin color mostra en realitat?

A les estacions de recàrrega ràpida per a cotxes elèctrics a Espanya, la velocitat de càrrega disminueix a mesura que la bateria s'omple per protegir les cel·les de liti. El percentatge de càrrega $C(t)$ de la bateria d'un vehicle després de $t$ minuts connectat ve donat per: $C(t) = 100 - 85 \cdot 0,96^t$ (per a $t \ge 0$). a) Estima: sense fer operacions detallades a la calculadora, observa l'estructura de la funció i indica a quin percentatge tendeix la càrrega si el cotxe es deixés connectat durant moltíssim de temps ($t \to \infty$). Raona la teva estimació analitzant què li passa a la potència $0,96^t$ en multiplicar successivament un nombre menor que $1$. b) Comprova: identifica l'asímptota horitzontal de la funció ($y = L$) i calcula el percentatge de càrrega real per a $t = 10\text{ min}$, $t = 30\text{ min}$ i $t = 60\text{ min}$ (arredonint a l'enter més pròxim). c) Valora críticament si la teva estimació inicial és coherent amb els resultats obtinguts i reflexiona sobre per què molts usuaris prefereixen desconnectar el cotxe al cap de mitja hora en lloc d'esperar una hora completa.

Una funció $f(x)$ és periòdica de període $T = 8$. En l'interval $[0, 8)$, la funció està definida a trossos de la manera següent: $f(x) = 2x$ si $0 \le x < 4$, i $f(x) = 12 - x$ si $4 \le x < 8$. Calcula els valors exactes de $f(45)$ i $f(100)$.

La població d'una espècie d'ocell introduïda en una illa segueix el model matemàtic $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, on $t$ representa el temps transcorregut en anys des de la seva introducció. Determina quina va ser la població inicial d'ocells i calcula a quin valor tendeix la població a llarg termini quan $t$ es fa molt gran.

Un electrocardiograma registra l'activitat elèctrica del cor humà, mostrant un patró que es repeteix de forma cíclica. Si la distància temporal entre dos pics R consecutius (un cicle cardíac complet) és de $0,8$ segons, quantes pulsacions per minut té el pacient en repòs? Si es registra un pic exacte a $t = 1,2$ segons, en quin instant es registrarà el pic número $50$ a partir d'aquell moment?

El nivell de l'aigua en un port marítim varia a causa de les marees seguint una funció periòdica. Sabent que al llarg d'un dia el nivell màxim d'aigua (plenamar) s'assoleix exactament a les 02:00 h i a les 14:30 h, determina el període exacte de les marees en aquest port. Si aquest patró es manté inalterat, a quina hora s'assolirà el primer nivell màxim del dia següent?

El valor econòmic d'una màquina industrial es deprecia amb el pas del temps segons la funció exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, on $t$ són els anys d'ús i $V(t)$ el valor en euros. Quin és el valor de la màquina quan es compra nova ($t=0$)? Quina és la tendència del valor de la màquina quan el temps d'ús es fa infinitament gran? Explica el significat econòmic d'aquest límit.

Determina el període exacte de les funcions trigonomètriques combinades següents, raonant la teva resposta a partir de les propietats de les funcions sinus i cosinus: $f(x) = \text{sen}(4x)$ i $g(x) = \text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Una sínia d'un parc d'atraccions té un diàmetre de $40$ metres i el seu eix central es troba a $22$ metres d'altura respecte del terra. La sínia gira a velocitat constant i triga exactament $4$ minuts a donar una volta completa. Si una persona puja a la cabina a la part més baixa en l'instant $t = 0$, determina a quina altura exacta respecte del terra es trobarà d'aquí a $t = 11$ minuts.

Una funció $f(x)$ és estrictament periòdica de període $T = 5$ i a més presenta simetria senar. Sabent que $f(1) = 4$ i $f(2) = -3$, determina de forma justificada els valors de $f(-4)$ i $f(13)$.

Les taules de marees de Ports de l'Estat a Santander (Cantàbria) mostren que l'alçària de l'aigua segueix una funció periòdica de període aproximat $T = 12\text{ hores}$. Durant les primeres $12$ hores d'un dia de marees vives, l'alçària $h(t)$ (en metres) respecte al fons de referència evoluciona així: baixa fins a assolir un baixamar d'$1,2\text{ m}$ a les $t = 3\text{ h}$ i puja fins a un plenamar de $4,6\text{ m}$ a les $t = 9\text{ h}$. Per calcular l'alçària de la marea que hi haurà a les $t = 195\text{ hores}$ de l'inici del mes, dos tècnics del port plantegen mètodes diferents: el Mètode 1 (Resta iterativa) consisteix a restar successivament $12$ a $195$ tantes vegades com calgui ($195 - 12 = 183$; $183 - 12 = 171$; ...) fins a obtenir un nombre dins de l'interval $[0, 12)$; el Mètode 2 (Divisió euclidiana) consisteix a dividir $195$ entre $12$, agafar el residu enter de la divisió i situar aquest residu a la taula del cicle inicial. a) Explica per què tots dos mètodes són matemàticament vàlids basant-te en la propietat de les funcions periòdiques: $f(t) = f(t + k \cdot T)$ amb $k \in \mathbb{Z}$. b) Avalua els avantatges i inconvenients de cada mètode. Quin triaries si necessitessis predir la marea d'aquí a un any ($t = 8\,760\text{ h}$)? Justifica la teva resposta en termes de rapidesa i prevenció d'errors. c) Aplica el mètode més eficient per determinar a quin moment del cicle base correspon $t = 195\text{ h}$. A partir d'aquest resultat, indica si coincideix amb el baixamar o el plenamar i quina és l'alçària de la marea.

Un informe demogràfic analitza l'evolució d'un municipi rural de Terol afectat per la despoblació. La població $P(t)$ (en nombre d'habitants) als $t$ anys transcorreguts des de l'any 2010 s'aproxima mitjançant el model: $P(t) = 640 \cdot 0,85^t + 180$. a) Determina la població que tenia el municipi l'any 2010 ($t = 0$) i calcula-la per a l'any 2020 ($t = 10$). b) Analitza matemàticament la tendència a llarg termini ($t \to \infty$): quina és la recta asímptota horitzontal de la funció? Justifica detalladament per què el terme $640 \cdot 0,85^t$ tendeix a 0 a mesura que passen els anys. c) Un titular de premsa local afirma: «Al ritme actual, aquest municipi turolenc es quedarà completament deshabitat (0 habitants) abans de cinquanta anys». Utilitzant l'asímptota calculada i el concepte de valor de repòs o estabilització, argumenta de manera raonada per què el titular comet un error d'interpretació matemàtica. d) Si els serveis mèdics comarcals exigeixen que hi hagi almenys $200$ habitants empadronats per mantenir obert el consultori mèdic local, calcula si l'any 2025 ($t = 15$) el consultori té risc immediat de tancament i què passarà a molt llarg termini segons aquest model.

La concentració d'un medicament en el torrent sanguini (mesurada en mg/L) a les $t$ hores de la seva administració intravenosa ve donada per la funció $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 9}$. Analitza la tendència d'aquesta concentració a llarg termini. Existeix algun moment en el futur en què la concentració s'estabilitzi en un valor constant diferent de zero, o acabarà desapareixent per complet de l'organisme? Justifica la teva resposta matemàticament.

Dos fars costaners, A i B, emeten flaixos lluminosos per guiar els vaixells. El far A emet un flaix cada $15$ segons i el far B ho fa cada $24$ segons. Si a les 22:00:00 tots dos fars emeten un flaix de forma totalment simultània, quantes vegades tornaran a coincidir els seus flaixos en la hora següent? A quina hora exacta (hores, minuts i segons) es produirà la dècima coincidència després de les 22:00:00?

La posició d'una massa penjada d'una molla que oscil·la amb fregament es modelitza mitjançant la funció amortida $x(t) = 10 \cdot 0,9^t \cdot \text{cos}(\pi t)$, amb $t$ mesurat en segons i $x(t)$ en centímetres. Observa la seva gràfica. És aquesta funció estrictament periòdica? A quin valor tendeix la posició $x(t)$ quan $t$ es fa molt gran i què significa físicament aquest límit?

Sigui una funció periòdica $f(x)$ de període $T = 4$, que en l'interval $[0, 4)$ està definida per l'expressió quadràtica $f(x) = -x^2 + 4x$. Demostra analíticament si $f(x)$ és o no simètrica respecte de la recta vertical $x = 2$ dins del seu primer període. A continuació, calcula el valor exacte de $f(2023)$.

Determina el valor exacte del paràmetre $k$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tendeixi a $4$ quan $x$ es fa infinitament gran. Una vegada trobat aquest valor de $k$, calcula quina és l'ordenada a l'origen de la funció.

Considera la funció matemàtica $f(x) = x - [x]$, on el símbol $[x]$ representa la "part entera" de $x$ (és a dir, el nombre enter més gran que és menor o igual a $x$). Demostra raonadament que $f(x)$ és una funció periòdica i troba el seu període. Finalment, calcula $f(14,75)$ i $f(-3,2)$.

Un satèl·lit d'observació orbita la Terra a baixa altitud, passant exactament sobre la línia de l'equador cada $90$ minuts. Cada vegada que completa una òrbita, la Terra ha rotat sota d'ell. Sabent que la Terra triga $24$ hores a donar una volta completa sobre el seu propi eix, quin temps mínim ha de transcórrer perquè el satèl·lit torni a passar exactament sobre les mateixes coordenades geogràfiques de l'equador?

Les funcions trigonomètriques $f(x) = \text{sen}(ax)$ i $g(x) = \text{cos}(bx)$ tenen com a període fonamental $T_1 = 4\pi$ i $T_2 = 6\pi$ respectivament, essent $a$ i $b$ nombres reals positius. Determina el període de la funció suma $h(x) = f(x) + g(x)$ i troba els valors numèrics dels paràmetres $a$ i $b$.

Un centre de distribució farmacèutica a Sevilla emmagatzema vacunes que requereixen conservació en fred continu. A causa d'una avaria elèctrica a l'estiu, la cambra frigorífica perd potència i la temperatura interior $T(t)$ (en $^\circ\text{C}$) comença a ascendir en funció de les hores transcorregudes $t$ segons un model del tipus $T(t) = A \cdot b^t + C$ (amb $0 < b < 1$). L'equip tècnic no disposa de la fórmula completa, però compta amb les dades següents del protocol de seguretat: 1) La temperatura exterior de la nau és de $35\,^\circ\text{C}$ constants; per transferència tèrmica, si l'avaria no es repara, la cambra tendeix a estabilitzar-se en aquesta temperatura exterior a llarg termini ($t \to \infty$). 2) En l'instant exacte en què va fallar el subministrament ($t = 0\text{ h}$), la cambra estava a la seva temperatura òptima de $3\,^\circ\text{C}$. 3) A les $t = 2\text{ hores}$ de l'apagada, el termòmetre digital va registrar $19\,^\circ\text{C}$. a) Dedueix el valor de l'asímptota horitzontal i utilitza-la per justificar el valor del paràmetre $C$. b) A partir de la dada a $t = 0\text{ h}$, planteja l'equació corresponent i obtén el valor d'$A$. c) Utilitzant el registre de temperatura a les $t = 2\text{ h}$, planteja l'equació per aïllar la base $b$ i escriu l'expressió analítica definitiva de $T(t)$. d) Si les vacunes perden les seves propietats biològiques si la temperatura supera els $25\,^\circ\text{C}$, calcula raonadament quina serà la temperatura a les $t = 4\text{ hores}$ del tall elèctric i dictamina si el lot de vacunes encara es pot salvar o s'ha fet malbé.

En un parc eòlic d'Albacete, les pales d'un aerogenerador giren a velocitat constant empeses pel vent. L'alçària $h(t)$ (en metres sobre el terra) de l'extrem d'una de les seves aspes als $t$ segons d'observació ve descrita per la funció periòdica: $h(t) = 45 \cdot \text{sen}(k \cdot t) + 80$. Se sap que l'aspa triga exactament $6\text{ segons}$ a completar un gir complet ($T = 6\text{ s}$). a) Recorda que la funció periòdica $\text{sen}(kx)$ té un període $T = \dfrac{2\pi}{k}$. Calcula el valor exacte de la constant $k$ per a aquest aerogenerador i escriu l'expressió final de $h(t)$. b) Tenint en compte que els valors de la funció sinus oscil·len sempre entre $-1$ i $1$, calcula l'alçària mínima i l'alçària màxima a la qual arriba l'extrem de la pala durant el gir. A partir d'aquests resultats, dedueix l'alçària del rodet (eix central de gir a la part superior de la torre) i la longitud de la pala. c) Per verificar el desgast per fatiga de materials, un sensor telemàtic registra la posició de l'extrem de la pala en l'instant $t = 249\text{ segons}$. Sense necessitat de simular tots els girs anteriors, explica com fer servir les propietats de la periodicitat per determinar a quin segon del cicle base $[0, 6)$ correspon aquest instant. d) Calcula l'alçària exacta $h(249)$ sabent que $\text{sen}\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1$ i $\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$. Es troba la pala en el seu punt més alt, en el seu punt més baix o en una posició intermèdia?

Repte del tema. Com consumeix electricitat el nostre país? Converteix-te en analista energètic investigant la corba de demanda elèctrica al web de Red Eléctrica de España (REE).

1. Recollida de dades: Entra a demanda.ree.es i registra en un full de càlcul la demanda peninsular real ($y$, en milers de MW, per exemple $26,4$) cada dues hores durant dos dies consecutius ($x \in [0, 48]$ h).

2. Representació: Genera la gràfica unint els punts amb GeoGebra o el full de càlcul. Descriu com se'ns presenta la informació (taula, gràfica i enunciat verbal).

3. Informe analític: Analitza matemàticament la funció deduint-ne el domini, recorregut i imatge d'hores clau; continuïtat; intervals de creixement i decreixement; màxims i mínims (hores punta i vall); simetria; periodicitat diària (cicles de $24$ h) i tendència general.

4. Proposta raonada: Dissenya una recomanació de consum eficient per a la teva llar indicant en quines franges horàries convé fer servir els electrodomèstics segons les dades analitzades.

Es valorarà:

• Recollida rigorosa de dades reals de la font oficial i representació gràfica adequada mitjançant eines digitals.

• Identificació i justificació correcta de les propietats funcionals (domini, extrems, continuïtat i periodicitat).

• Coherència i utilitat pràctica de les propostes d'estalvi a partir de l'anàlisi matemàtica realitzada.