Coordenadas
El GPS de un dron no dice "gira un poco a la izquierda": da dos números, una posición $(x, y)$. Y cuando el dron vuela de un punto a otro, ese vuelo también se puede describir con dos números: cuánto avanza en horizontal y cuánto en vertical. A ese "vuelo" lo llamamos vector, y con él vas a resolver casi todo lo que viene en este tema: distancias, puntos medios, rectas…
El plano, otra vez
Ya conoces el plano cartesiano de cursos anteriores: dos ejes perpendiculares, un punto $P(x, y)$ se marca contando $x$ en horizontal e $y$ en vertical desde el origen $O(0,0)$. Lo nuevo de este tema es que vas a usar ese mapa para algo más que dibujar puntos: vas a medir y calcular sobre él.
Halla la distancia exacta entre los puntos $P(1, 4)$ y $Q(-5, -4)$ en el plano cartesiano.
Halla la distancia exacta entre los puntos $P(1, 4)$ y $Q(-5, -4)$ en el plano cartesiano.
El vector de un desplazamiento
Calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ sabiendo que su punto de origen es $A(-3, 5)$ y su extremo es $B(4, -2)$.
Calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ sabiendo que su punto de origen es $A(-3, 5)$ y su extremo es $B(4, -2)$.
El módulo de un vector
El vector $\vec{AB} = (v_1, v_2)$ forma con los ejes un triángulo rectángulo: $v_1$ y $v_2$ son los catetos. Por Pitágoras, su módulo (longitud) es:
$$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$$Determina el módulo del vector $\vec{v} = (6, -8)$. Simplifica el resultado si es posible.
Determina el módulo del vector $\vec{v} = (6, -8)$. Simplifica el resultado si es posible.
Dado el vector $\vec{w} = (k, 3)$, calcula los posibles valores del parámetro $k$ para que el módulo de dicho vector sea exactamente $5$.
Dado el vector $\vec{w} = (k, 3)$, calcula los posibles valores del parámetro $k$ para que el módulo de dicho vector sea exactamente $5$.
Distancia entre dos puntos y punto medio
La distancia entre $A$ y $B$ es, sencillamente, el módulo del vector $\vec{AB}$:
$$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$$Y el punto medio $M$ del segmento $AB$ tiene por coordenadas la media de las de los extremos:
$$M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2},\ \frac{a_2 + b_2}{2}\right)$$Un dron de vigilancia forestal despega del punto $A(-2, 1)$ en un mapa cuadriculado cuyas unidades están en kilómetros. Vuela en línea recta hasta el punto $B(4, 9)$…
Un dron de vigilancia forestal despega del punto $A(-2, 1)$ en un mapa cuadriculado cuyas unidades están en kilómetros. Vuela en línea recta hasta el punto $B(4, 9)$ para revisar un claro sospechoso, y desde allí se desplaza directamente al punto $C(10, 1)$ para examinar un refugio. Calcula la distancia total que ha recorrido el dron durante este trayecto.
El centro geométrico de una pista de patinaje circular sobre hielo está situado en las coordenadas $C(2, -3)$. Si uno de los extremos de la pista, donde se sitúa la…
El centro geométrico de una pista de patinaje circular sobre hielo está situado en las coordenadas $C(2, -3)$. Si uno de los extremos de la pista, donde se sitúa la puerta de entrada, está en el punto $A(-1, 1)$, halla las coordenadas del extremo diametralmente opuesto $B$ y calcula el diámetro total de la pista.
Puntos alineados y puntos simétricos
Un punto $A'$ es el simétrico de $A$ respecto a un centro $P$ cuando $P$ es el punto medio de $A$ y $A'$: $A' = 2P - A$.
Averigua las coordenadas del punto $A'$ sabiendo que es el simétrico de $A(-2, 6)$ respecto del centro de simetría $P(1, 1)$.
Averigua las coordenadas del punto $A'$ sabiendo que es el simétrico de $A(-2, 6)$ respecto del centro de simetría $P(1, 1)$.
Un arquitecto diseña un puente suspendido en el que tres de los anclajes del cable principal deben estar perfectamente alineados para garantizar la tensión correcta. En…
Un arquitecto diseña un puente suspendido en el que tres de los anclajes del cable principal deben estar perfectamente alineados para garantizar la tensión correcta. En el plano de obra, sus coordenadas son $P(-3, 2)$, $Q(1, 4)$ y $R(a, 7)$. Calcula el valor del parámetro $a$ para que la estructura sea estable.