Perímetro, longitud y área de figuras planas
Hasta ahora has calculado perímetros y áreas de figuras semejantes por separado. En la práctica, los problemas reales mezclan los dos datos a la vez: un plano con una superficie en $\text{cm}^2$ que corresponde a metros cuadrados reales, una foto que se amplía y hay que saber cuánta tinta gasta...
De la longitud al área: razón al cuadrado
Un pentágono tiene un perímetro de $45\text{ cm}$. Si se construye otro pentágono semejante con una razón de semejanza $k = 3$, calcula el perímetro del nuevo pentágono.
Un pentágono tiene un perímetro de $45\text{ cm}$. Si se construye otro pentágono semejante con una razón de semejanza $k = 3$, calcula el perímetro del nuevo pentágono.
Dos triángulos isósceles son semejantes. El lado desigual del primero mide $8\text{ cm}$ y su área es $24\text{ cm}^2$. Si el lado desigual del segundo mide…
Dos triángulos isósceles son semejantes. El lado desigual del primero mide $8\text{ cm}$ y su área es $24\text{ cm}^2$. Si el lado desigual del segundo mide $24\text{ cm}$, ¿cuál es su área?
Áreas en planos y mapas
En un plano a escala $1:n$, las longitudes se multiplican por $n$ al pasar a la realidad, pero las áreas se multiplican por $n^2$: es fácil olvidarlo y multiplicar solo por $n$.
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de $8\text{ cm}$. Si la escala del mapa es $1:500\,000$, calcula la distancia real en kilómetros.
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de $8\text{ cm}$. Si la escala del mapa es $1:500\,000$, calcula la distancia real en kilómetros.
En el plano de un arquitecto, dibujado a escala $1:150$, el salón de una casa ocupa una superficie de $12\text{ cm}^2$. Calcula el área real del salón en metros…
En el plano de un arquitecto, dibujado a escala $1:150$, el salón de una casa ocupa una superficie de $12\text{ cm}^2$. Calcula el área real del salón en metros cuadrados.
Ampliar fotografías y carteles
Ampliar una foto a un cartel es, matemáticamente, construir una figura semejante. El área crece mucho más rápido que las dimensiones: por eso una ampliación modesta en lados puede necesitar mucha más tinta o lienzo.
Una fotografía de $10\text{ cm}$ de ancho por $15\text{ cm}$ de alto se amplía multiplicando sus dimensiones por $2,5$. Calcula el área de la fotografía ampliada.
Una fotografía de $10\text{ cm}$ de ancho por $15\text{ cm}$ de alto se amplía multiplicando sus dimensiones por $2,5$. Calcula el área de la fotografía ampliada.
Un artista pinta un boceto en un lienzo de $20\text{ cm}$ de ancho por $30\text{ cm}$ de alto usando $15\text{ ml}$ de pintura azul. Si luego reproduce exactamente el…
Un artista pinta un boceto en un lienzo de $20\text{ cm}$ de ancho por $30\text{ cm}$ de alto usando $15\text{ ml}$ de pintura azul. Si luego reproduce exactamente el mismo dibujo en un mural semejante de $3\text{ m}$ de alto, ¿cuántos litros de pintura azul necesitará?
Proporcionalidad real: el precio según el área
Cuando un precio o una cantidad de material depende del área (no del lado), dos figuras semejantes con razón $k$ hacen que ese precio se multiplique por $k^2$, no por $k$: es la trampa habitual de "la pizza familiar debería costar el doble".
Una pizzería vende una pizza mediana de $20\text{ cm}$ de diámetro por $8\text{ €}$. Si el precio es estrictamente proporcional a la cantidad de pizza (su área), ¿cuánto…
Una pizzería vende una pizza mediana de $20\text{ cm}$ de diámetro por $8\text{ €}$. Si el precio es estrictamente proporcional a la cantidad de pizza (su área), ¿cuánto debería costar una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diámetro elaborada con la misma receta?
Observa la figura:
Sabiendo que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es $\frac{3}{5}$, ¿cuál será la razón entre sus áreas?
Sabiendo que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es $\frac{3}{5}$, ¿cuál será la razón entre sus áreas?
Razonar al revés: del área a la razón $k$
Algunos problemas dan directamente la razón de áreas o de perímetros y piden $k$ o alguna longitud: hay que deshacer el camino con una raíz cuadrada.
Dos hexágonos irregulares son semejantes. El perímetro del primero es $60\text{ cm}$ y el del segundo es $15\text{ cm}$. Halla la razón de semejanza para pasar del…
Dos hexágonos irregulares son semejantes. El perímetro del primero es $60\text{ cm}$ y el del segundo es $15\text{ cm}$. Halla la razón de semejanza para pasar del hexágono grande al pequeño.
El área de un rectángulo es $50\text{ cm}^2$ y el área de un rectángulo semejante a él es $200\text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus lados?
El área de un rectángulo es $50\text{ cm}^2$ y el área de un rectángulo semejante a él es $200\text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus lados?
Se tienen dos rombos semejantes. La suma de sus perímetros es $140\text{ cm}$ y la razón de semejanza entre ellos es $k = 2,5$. Determina el perímetro de cada uno de los…
Se tienen dos rombos semejantes. La suma de sus perímetros es $140\text{ cm}$ y la razón de semejanza entre ellos es $k = 2,5$. Determina el perímetro de cada uno de los rombos.