Sistemas no lineales
El perímetro de un rectángulo mide 28 cm y su área es 48 cm². Dos pistas, dos incógnitas ($x$ e $y$, los lados) otra vez... pero ahora una de las ecuaciones tiene un producto de incógnitas, no una suma. Ya no es un sistema lineal: es un sistema no lineal.
Qué es un sistema no lineal
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $
Determina las soluciones del sistema: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $
Determina las soluciones del sistema:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $
Recta y parábola: puntos de corte
Igual que una ecuación lineal es una recta, una ecuación con $x^2$ (y no $y^2$) es una parábola. El sistema recta-parábola puede tener dos, una o ninguna solución real, según si la recta corta, toca o no toca la parábola.
Resuelve el siguiente sistema con radicales: $ \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Resuelve el siguiente sistema con radicales:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Resuelve el sistema de ecuaciones irracionales: $ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ x - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $
Resuelve el sistema de ecuaciones irracionales:
$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ x - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $
Suma y producto de dos números
Un tipo muy habitual: conoces la suma y el producto (o la suma y la diferencia de cuadrados) de dos números y debes hallarlos.
Resuelve el sistema: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 12 \end{cases} $
Resuelve el sistema:
$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 12 \end{cases} $
Calcula dos números enteros positivos sabiendo que su suma es $15$ y su producto es $56$.
Calcula dos números enteros positivos sabiendo que su suma es $15$ y su producto es $56$.
La diferencia de dos números naturales es $3$ y la diferencia de sus cuadrados es $33$. ¿De qué números se trata?
La diferencia de dos números naturales es $3$ y la diferencia de sus cuadrados es $33$. ¿De qué números se trata?
Problemas de geometría: perímetro y área
En rectángulos, rombos y otras figuras, el perímetro suele dar una ecuación lineal y el área una ecuación no lineal (con un producto).
El perímetro de un rectángulo mide $28 \text{ cm}$ y su área es $48 \text{ cm}^2$. Determina la longitud de sus lados planteando un sistema de ecuaciones.
El perímetro de un rectángulo mide $28 \text{ cm}$ y su área es $48 \text{ cm}^2$. Determina la longitud de sus lados planteando un sistema de ecuaciones.
Las diagonales de un rombo difieren en $4 \text{ cm}$ y su área es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.
Las diagonales de un rombo difieren en $4 \text{ cm}$ y su área es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.
Halla las dimensiones de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, sabiendo que si ambos catetos aumentan su longitud en $2 \text{ cm}$, el área del…
Halla las dimensiones de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, sabiendo que si ambos catetos aumentan su longitud en $2 \text{ cm}$, el área del triángulo aumenta en $21 \text{ cm}^2$.
Comprobar las soluciones en su contexto
Un sistema no lineal puede dar varias soluciones matemáticas, pero no todas sirven en un problema real.
Si la base de un rectángulo aumenta en $2 \text{ cm}$ y su altura aumenta en $1 \text{ cm}$, el área se incrementa en $22 \text{ cm}^2$. Sabiendo que la base original…
Si la base de un rectángulo aumenta en $2 \text{ cm}$ y su altura aumenta en $1 \text{ cm}$, el área se incrementa en $22 \text{ cm}^2$. Sabiendo que la base original mide el doble que la altura, halla las dimensiones iniciales del rectángulo.
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con cada trozo se forma un cuadrado. Si la suma de las áreas de ambos cuadrados es de…
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con cada trozo se forma un cuadrado. Si la suma de las áreas de ambos cuadrados es de $58 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la longitud de cada trozo de alambre?