Paralelismo y perpendicularidad
Las calles de una ciudad en cuadrícula son paralelas o perpendiculares entre sí: nunca se cruzan en diagonal sin motivo. Saber reconocer y construir rectas paralelas o perpendiculares a partir de su pendiente o de su vector director es la pieza que cierra todo lo que has aprendido de geometría analítica.
Rectas paralelas
Dada la recta $r$ de ecuación $y = -5x + 3$, indica cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a $r$ y cuál es la pendiente de cualquier recta perpendicular a $r$.
Dada la recta $r$ de ecuación $y = -5x + 3$, indica cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a $r$ y cuál es la pendiente de cualquier recta perpendicular a $r$.
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: -4x + 2y - 8 = 0$.
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: -4x + 2y - 8 = 0$.
Rectas perpendiculares
Escribe las coordenadas de un vector que sea paralelo y de otro que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-4, 7)$.
Escribe las coordenadas de un vector que sea paralelo y de otro que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-4, 7)$.
Determina la ecuación general de la recta perpendicular a $3x + 4y - 2 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas.
Determina la ecuación general de la recta perpendicular a $3x + 4y - 2 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas.
Dos rectas tienen pendientes $m_1 = \frac{2}{3}$ y $m_2 = \frac{3}{2}$. Un alumno concluye que, como están formadas por las mismas cifras invertidas, las rectas son…
Dos rectas tienen pendientes $m_1 = \frac{2}{3}$ y $m_2 = \frac{3}{2}$. Un alumno concluye que, como están formadas por las mismas cifras invertidas, las rectas son perpendiculares. Explica el error en este "truco" y cuál debería ser el valor de $m_2$ para que las rectas fueran verdaderamente perpendiculares.
La mediatriz de un segmento
Calcula la ecuación general de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(-3, 5)$ y $B(1, -1)$.
Calcula la ecuación general de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(-3, 5)$ y $B(1, -1)$.
Aplicaciones: alturas, simetrías y figuras
El paralelismo y la perpendicularidad resuelven muchos problemas geométricos: la altura de un triángulo desde un vértice es perpendicular al lado opuesto; el punto simétrico de $A$ respecto a una recta $r$ se encuentra trazando la perpendicular a $r$ por $A$ y reflejando a la misma distancia al otro lado; y comprobar que los lados de un cuadrilátero son paralelos (o perpendiculares) dos a dos permite demostrar que es un paralelogramo, un rectángulo o un rombo.
En el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$, halla la ecuación general de la altura que parte del vértice $A$.
En el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$, halla la ecuación general de la altura que parte del vértice $A$.
Halla las coordenadas del ortocentro (punto de corte de las alturas) del triángulo cuyos vértices son $A(0, 4)$, $B(-4, 0)$ y $C(2, -2)$.
Halla las coordenadas del ortocentro (punto de corte de las alturas) del triángulo cuyos vértices son $A(0, 4)$, $B(-4, 0)$ y $C(2, -2)$.
Demuestra analíticamente que el cuadrilátero de vértices $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$, $C(5, 4)$ y $D(0, 3)$ es un rombo. Para ello, comprueba que sus lados son paralelos dos…
Demuestra analíticamente que el cuadrilátero de vértices $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$, $C(5, 4)$ y $D(0, 3)$ es un rombo. Para ello, comprueba que sus lados son paralelos dos a dos y que sus diagonales son perpendiculares entre sí.