Ejercicios: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Observa el triángulo rectángulo de la figura.

1. a) Escribe, como fracción, las razones $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ del ángulo marcado. b) Escribe esas mismas razones para el otro ángulo agudo. ¿Qué relación observas entre unas y otras?

En el triángulo rectángulo de la figura los catetos miden $6$ cm y $8$ cm.

1. a) Calcula la hipotenusa. b) Halla las tres razones trigonométricas del ángulo $\beta$ marcado.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $13$ cm y el cateto opuesto al ángulo $\alpha$ mide $5$ cm. a) Calcula el otro cateto. b) Halla $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$.

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden $35^\circ$ y $55^\circ$. Sabiendo que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, averigua sin calculadora cuánto vale $\cos\ 55^\circ$ y justifícalo usando la definición de las razones trigonométricas.

En el triángulo de la figura la hipotenusa mide $10$ cm y el ángulo $\alpha$ mide $30^\circ$.

Calcula la longitud del cateto opuesto a $\alpha$. (Dato: $\sen\ 30^\circ = 0{,}5$.)

En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a un ángulo de $60^\circ$ mide $8$ m. Calcula la hipotenusa. (Dato: $\cos\ 60^\circ = 0{,}5$.)

Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden $4$ cm cada uno. a) ¿Cuánto vale la tangente de cada uno de los ángulos agudos? b) ¿Cuánto miden esos ángulos? Justifícalo sin calculadora.

Valora si son verdaderas o falsas estas afirmaciones sobre un ángulo agudo $\alpha$: a) «El seno de $\alpha$ puede ser mayor que $1$». b) «La tangente de $\alpha$ puede ser mayor que $1$». Justifica ambas respuestas a partir de la definición de las razones en el triángulo rectángulo y pon un ejemplo en el caso afirmativo.

De un ángulo agudo $\alpha$ se sabe que $\sen\ \alpha = 0{,}6$. Calcula $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ usando las relaciones fundamentales.

Si $\tg\ \alpha = 2$ y $\alpha$ es agudo, calcula $\sen\ \alpha$ y $\cos\ \alpha$.

1. a) Observa el panel A de la figura, donde un triángulo equilátero de lado $2$ se ha dividido por una altura, y deduce los valores exactos de $\sen\ 30^\circ$, $\cos\ 30^\circ$ y $\tg\ 30^\circ$. b) Observa el panel B, donde un cuadrado de lado $1$ se ha dividido por una diagonal, y deduce las razones de $45^\circ$. c) Con lo anterior y las relaciones entre ángulos complementarios, completa la tabla con las razones de $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$.

Sabiendo que $\cos\ \alpha = \frac{1}{3}$ y que $\alpha$ es agudo, halla los valores exactos de $\sen\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$, expresados con radicales.

Una escalera de $5$ m se apoya en una pared formando un ángulo de $65^\circ$ con el suelo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué altura alcanza la escalera en la pared? b) ¿A qué distancia de la pared está su pie?

Una cometa vuela sujeta por un hilo tenso de $40$ m que forma un ángulo de $50^\circ$ con el suelo, como muestra la figura.

Si las manos de la persona que la sujeta están a $1{,}5$ m del suelo, ¿a qué altura vuela la cometa?

Una rampa de acceso salva un desnivel de $0{,}8$ m con un recorrido horizontal de $6$ m, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué ángulo forma la rampa con el suelo? b) ¿Cuál es su pendiente expresada en porcentaje? c) La normativa de accesibilidad recomienda que estas rampas no superen el $10\ \%$ de pendiente: ¿la cumple esta rampa?

Un alumno escribe: «como $\sen\ \alpha = 0{,}9$, entonces $\cos\ \alpha = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$». Explica qué relación ha confundido, corrige el error y calcula el valor correcto de $\cos\ \alpha$.

1. a) Desarrolla $(\sen\ \alpha + \cos\ \alpha)^2$ y usa la relación fundamental para demostrar que $(\sen\ \alpha + \cos\ \alpha)^2 = 1 + 2 \cdot \sen\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$. b) Si para cierto ángulo agudo se cumple que $\sen\ \alpha + \cos\ \alpha = 1{,}3$, calcula el valor de $\sen\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$ sin hallar el ángulo.

Sabiendo que $\tg\ \alpha = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\frac{\sen\ \alpha + \cos\ \alpha}{\sen\ \alpha - \cos\ \alpha}$ sin calcular el ángulo. (Pista: divide el numerador y el denominador entre $\cos\ \alpha$.)

En una carretera de montaña hay una señal que advierte de una pendiente del $12\ \%$, como la de la figura.

1. a) Explica qué significa ese $12\ \%$ en términos de desnivel y de distancia horizontal. b) ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? c) Si un ciclista recorre $250$ m por esa carretera, medidos sobre el asfalto, ¿qué desnivel ha subido?

Un triángulo tiene dos lados de $8$ cm y $12$ cm que forman un ángulo de $50^\circ$. a) Calcula la altura sobre el lado de $12$ cm usando el seno de $50^\circ$. b) Calcula el área del triángulo. c) Generaliza: escribe una fórmula para el área de un triángulo conocidos dos lados $a$ y $b$ y el ángulo comprendido $\gamma$.

Un poste de $3{,}2$ m proyecta una sombra de $4{,}5$ m sobre el suelo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Con qué ángulo de elevación se ve el Sol en ese momento? b) A esa misma hora, ¿qué longitud tendrá la sombra de un edificio de $18$ m?

En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente al ángulo $\beta$ mide $8$ cm y $\cos\ \beta = 0{,}8$. a) Calcula la hipotenusa. b) Calcula el perímetro del triángulo. c) Calcula su área.

Sea un triángulo rectángulo de ángulos agudos $\alpha$ y $\beta$. a) Comprueba con el triángulo de catetos $5$ cm y $12$ cm que $\sen^2\ \alpha + \sen^2\ \beta = 1$. b) Demuestra que esa igualdad se cumple siempre, usando que $\alpha + \beta = 90^\circ$ y las relaciones entre las razones de ángulos complementarios.

Calcula sin calculadora, usando la tabla de ángulos notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b) $\frac{\sen\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tg^2\ 30^\circ$.