Dominio, recorrido e imagen de una función
Ya sabes que el dominio son los valores de $x$ donde la función existe. Ahora toca ser preciso: cada tipo de función tiene su propia trampa (una fracción que se anula, una raíz de número negativo, un logaritmo de cero), y hay que saber detectarla sin necesidad de dibujar nada.
Funciones polinómicas y racionales
Cuando el denominador es de segundo grado, hay que resolver una ecuación de segundo grado para encontrar todos los puntos excluidos (pueden ser cero, uno o dos).
Determina el dominio de definición de la siguiente función polinómica: $f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$
Determina el dominio de definición de la siguiente función polinómica:
$f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$
Halla el dominio de la siguiente función racional: $f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$
Halla el dominio de la siguiente función racional:
$f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$
Halla el dominio de la siguiente función racional con denominador de segundo grado: $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$
Halla el dominio de la siguiente función racional con denominador de segundo grado:
$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$
Funciones con raíces
Calcula el dominio de definición de la función con radical: $f(x) = \sqrt{3x + 12}$
Calcula el dominio de definición de la función con radical:
$f(x) = \sqrt{3x + 12}$
Calcula el dominio de la siguiente función que contiene un radical de índice impar: $f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$
Calcula el dominio de la siguiente función que contiene un radical de índice impar:
$f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$
Determina el dominio de la siguiente función con un radical cuadrático: $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$
Determina el dominio de la siguiente función con un radical cuadrático:
$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$
Funciones logarítmicas y combinadas
Cuando una función combina varias restricciones (una raíz con una fracción dentro, por ejemplo), se calculan todas las condiciones por separado y el dominio final es donde se cumplen todas a la vez.
Determina el dominio de la siguiente función logarítmica: $f(x) = \log_2(5 - x)$
Determina el dominio de la siguiente función logarítmica:
$f(x) = \log_2(5 - x)$
Halla el dominio de definición de la función que combina una fracción y una raíz: $f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$
Halla el dominio de definición de la función que combina una fracción y una raíz:
$f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$
Calcula el dominio de la siguiente función logarítmica con argumento cuadrático: $f(x) = \ln(9 - x^2)$
Calcula el dominio de la siguiente función logarítmica con argumento cuadrático:
$f(x) = \ln(9 - x^2)$
Determina el dominio de la función que incluye una raíz en el numerador y un polinomio en el denominador: $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$
Determina el dominio de la función que incluye una raíz en el numerador y un polinomio en el denominador:
$f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$
Dominio y recorrido a partir de la gráfica
Las asíntotas verticales (puntos excluidos del dominio donde la gráfica "se escapa" hacia arriba o abajo) y los huecos abiertos/cerrados hay que marcarlos con cuidado: un círculo relleno significa que ese valor sí pertenece a la función; uno hueco, que no.
A partir de la siguiente representación gráfica de la función $f(x)$, determina su dominio y su recorrido.
A partir de la siguiente representación gráfica de la función $f(x)$, determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función a trozos $g(x)$. Determina su dominio y su recorrido, prestando especial atención a la asíntota vertical y a los puntos donde los…
Observa la gráfica de la función a trozos $g(x)$. Determina su dominio y su recorrido, prestando especial atención a la asíntota vertical y a los puntos donde los intervalos son abiertos o cerrados.
Dominio en problemas con contexto
En problemas de geometría o de economía, al dominio "matemático" de la fórmula se le añade siempre la restricción de que las magnitudes (longitudes, tiempos, cantidades) tengan sentido físico.
Un aparcamiento cobra $2$ € por cada hora o fracción de hora que un vehículo permanece estacionado, con un límite máximo de $12$ horas al día. Escribe la función que…
Un aparcamiento cobra $2$ € por cada hora o fracción de hora que un vehículo permanece estacionado, con un límite máximo de $12$ horas al día. Escribe la función que relaciona el tiempo de estacionamiento $x$ (en horas) con el importe a pagar $f(x)$, y determina su dominio y su recorrido en el contexto de este problema.
Se lanza un pequeño cohete de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en metros) que alcanza en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada…
Se lanza un pequeño cohete de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en metros) que alcanza en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 20t - 5t^2$. Determina el dominio y el recorrido de esta función sabiendo que el movimiento termina cuando el cohete impacta de nuevo contra el suelo.
Una empresa que fabrica componentes electrónicos ha determinado que los ingresos diarios por vender $x$ componentes vienen dados por $I(x) = 150x - x^2$, y los costes…
Una empresa que fabrica componentes electrónicos ha determinado que los ingresos diarios por vender $x$ componentes vienen dados por $I(x) = 150x - x^2$, y los costes totales de producción por $C(x) = 2000 + 10x$. Sabiendo que la fábrica tiene una capacidad máxima de producción de $100$ componentes al día, determina la función beneficio $B(x)$ y su dominio válido en este contexto económico.