Ejercicios: Sistemas de ecuaciones lineales

Comprueba si el par de valores $x = 3$, $y = -2$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:

Aplica el método de igualación para encontrar la solución del siguiente sistema:

Utiliza el método de reducción para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determina la solución del sistema a partir de la gráfica y clasifícalo según su número de soluciones.

La diferencia entre dos números es $14$ y el doble del mayor más el menor es igual a $55$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.

En una granja hay vacas y gallinas. Si en total se cuentan $35$ cabezas y $110$ patas, plantea un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos animales hay de cada clase.

Calcula el valor de los coeficientes $a$ y $b$ para que el par $(x, y) = (2, -1)$ sea la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para simplificar los paréntesis y los denominadores:

Hace $4$ años, la edad de un padre era el cuádruple de la edad de su hija. Dentro de $8$ años, la edad del padre será el doble que la de la hija. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las edades actuales de ambos.

Una perfumería mezcla dos tipos de colonias: una cuesta $12$ €/litro y la otra $20$ €/litro. Desean obtener una mezcla de $50$ litros que tenga un precio final de $15$ €/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de colonia deben utilizar?

Clasifica los siguientes sistemas en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles, analizando la proporción entre sus coeficientes, sin necesidad de resolverlos. Justifica tu respuesta en cada caso.

1. a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
2. b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
3. c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $

Un tren de mercancías sale de una estación a una velocidad constante de $80$ km/h. Una hora y media después, sale de la misma estación y en la misma dirección un tren de pasajeros a $120$ km/h. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuánto tiempo tardará el tren de pasajeros en alcanzar al de mercancías y a qué distancia de la estación lo hará.

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de reducción (método de Gauss):

En un examen tipo test de $50$ preguntas, se otorgan $3$ puntos por cada respuesta correcta y se resta $1$ punto por cada respuesta incorrecta o en blanco. Si un estudiante ha obtenido $98$ puntos en total, ¿cuántas preguntas respondió correctamente y cuántas falló o dejó en blanco?

Se tiene un rectángulo de dimensiones desconocidas. Si se aumenta la base en $3$ cm y se disminuye la altura en $2$ cm, el área del rectángulo no varía. Por otro lado, si se disminuye la base en $2$ cm y se aumenta la altura en $4$ cm, el área aumenta en $16$ cm$^2$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las dimensiones originales del rectángulo.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $k$. Determina para qué valor de $k$ el sistema tiene infinitas soluciones, para cuál no tiene solución y para cuáles tiene una solución única.

La suma de las tres cifras de un número es $15$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos cifras. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido supera al original en $396$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y halla el número original.

Dos obreros, trabajando juntos, pueden terminar una obra en $12$ días. Si el primer obrero trabaja durante $5$ días y el segundo durante $8$ días, completan exactamente los $\frac{5}{12}$ de la misma. Plantea un sistema de ecuaciones (sugerencia: utiliza las incógnitas auxiliares $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$) para calcular cuántos días tardaría cada obrero en realizar la obra completa trabajando solo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $A = \frac{1}{x+1}$, $B = \frac{1}{y-2}$):

Un inversor divide su capital de $60\,000$ € en tres fondos de inversión: A, B y C. El fondo A le proporciona una rentabilidad anual del $4\%$, el fondo B del $6\%$ y el fondo C del $9\%$. Sabiendo que invirtió en el fondo C la misma cantidad que en los fondos A y B juntos, y que el beneficio total anual fue de $4\,050$ €, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula cuánto dinero destinó a cada fondo.

El perímetro de un triángulo isósceles es de $40$ cm. Si la base aumentara en un $25\%$ y los lados iguales disminuyeran en un $10\%$, el triángulo se convertiría en equilátero. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar las longitudes de los lados del triángulo original.

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, operando cuidadosamente con las fracciones antes de aplicar el método de Gauss u otro método de resolución:

Un bote navega por un río. Cuando viaja a favor de la corriente, recorre una distancia de $60$ km en $3$ horas. Cuando viaja en contra de la corriente, tarda $5$ horas en recorrer la misma distancia. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.