Ejercicios: Volumen de figuras sólidas

Dos cubos de rubik tienen tamaños distintos pero son geométricamente semejantes. La arista del cubo pequeño mide $2 \text{ cm}$ y la arista del cubo grande mide $6 \text{ cm}$. Si el volumen del cubo pequeño es de $8 \text{ cm}^3$, calcula el volumen del cubo grande aplicando la razón de semejanza.

Se han fabricado dos esferas de acero semejantes. El volumen de la primera es de $10 \text{ cm}^3$ y el volumen de la segunda es de $80 \text{ cm}^3$. Calcula cuál es la razón de semejanza $k$ entre el radio de la segunda esfera y el de la primera.

Un arquitecto diseña la maqueta de un rascacielos a una escala de $1:100$. Si el volumen de la maqueta en el estudio es de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volumen real que tendrá el rascacielos expresado en metros cúbicos ($m^3$).

En una pizzería ofrecen refrescos en dos vasos cilíndricos semejantes. El vaso grande es exactamente el doble de alto y el doble de ancho que el vaso pequeño. Si la capacidad del vaso pequeño es de $250 \text{ mL}$, ¿cuántos mililitros de refresco caben en el vaso grande?

Un tetraedro de plástico tiene un volumen de $15 \text{ cm}^3$. En una fábrica de juguetes deciden construir un tetraedro semejante pero triplicando la longitud de todas sus aristas. Calcula el volumen del nuevo tetraedro.

La razón entre las áreas totales de dos conos semejantes es de $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón entre los volúmenes de dichos conos.

Un prisma hexagonal regular tiene un volumen de $120 \text{ cm}^3$. Si construimos un prisma semejante reduciendo todas sus dimensiones lineales a la mitad, ¿cuál será el volumen del nuevo prisma?

En un museo hay dos estatuas de mármol semejantes. El volumen de la primera estatua es $27$ veces el volumen de la segunda. Si la altura de la segunda estatua es de $10 \text{ cm}$, averigua la altura de la primera estatua.

Una miniatura de bronce macizo de un famoso monumento pesa $1,5 \text{ kg}$ y tiene una altura de $20 \text{ cm}$. El monumento real, construido exactamente con el mismo tipo de bronce y siendo matemáticamente semejante, tiene una altura de $4 \text{ m}$. Calcula el peso del monumento real expresado en toneladas.

Una copa de cóctel tiene forma de cono invertido perfecto. Se vierte zumo en la copa hasta alcanzar exactamente la mitad de la altura total de la copa. ¿Qué fracción de la capacidad total de la copa está ocupada por el zumo?

La figura ilustra la copa y el nivel de zumo:

Un globo aerostático esférico se calienta, provocando que su radio aumente en un $20\%$. Suponiendo que mantiene su forma perfectamente esférica en todo momento, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen respecto al volumen inicial?

Una marca de conservas vende sopa en dos latas cilíndricas semejantes. La lata pequeña tiene una superficie total de $150 \text{ cm}^2$ y una capacidad de $400 \text{ mL}$. Si la lata grande tiene una superficie total de $337,5 \text{ cm}^2$, calcula qué capacidad en mililitros tiene la lata grande.

Dos peces de la misma especie tienen formas geométricamente semejantes y longitudes de $15 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$. Sabiendo que la cantidad de alimento diario que necesitan es directamente proporcional a su volumen (o masa corporal), y que el pez pequeño consume $27 \text{ g}$ de comida al día, ¿cuántos gramos diarios necesita el pez grande?

Un depósito de agua de una comunidad de regantes tiene forma de ortoedro y una capacidad de $8000 \text{ L}$. Se decide construir un nuevo depósito semejante al primero, pero diseñado de forma que el área de su base sea $4$ veces mayor que el área de la base del depósito original. Calcula la capacidad en litros del nuevo depósito.

Dos poliedros irregulares son semejantes. El volumen del poliedro menor es de $64 \text{ cm}^3$ y el del mayor es de $343 \text{ cm}^3$. Si el área de la superficie total del poliedro menor es de $48 \text{ cm}^2$, halla el área de la superficie total del poliedro mayor.

Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12 \text{ cm}$ y la arista de su base mide $6 \text{ cm}$. Se corta esta pirámide por un plano paralelo a la base para formar un tronco de pirámide cuya base superior tiene una arista de $2 \text{ cm}$. Utilizando la semejanza entre la pirámide original y la pirámide pequeña deficiente, calcula el volumen del tronco de pirámide resultante.

Un embudo cónico de altura $H$ está completamente lleno de aceite. Se deja gotear todo el aceite en un recipiente cónico semejante al embudo pero de altura $2H$, que inicialmente está vacío. Una vez que el embudo se ha vaciado por completo, ¿qué fracción de la altura del recipiente grande estará cubierta por el aceite?

Dos sólidos semejantes tienen volúmenes $V$ y $2V$ respectivamente. Si el área de la superficie del sólido más pequeño es $A$, expresa el área de la superficie del sólido más grande en función de $A$. Simplifica la expresión utilizando radicales.

El planeta Tierra tiene un diámetro que es aproximadamente $3,6$ veces mayor que el diámetro de la Luna. Suponiendo que ambos cuerpos celestes son esferas perfectas, y sabiendo que la densidad media de la Tierra es de $5,5 \text{ g/cm}^3$ mientras que la de la Luna es de $3,3 \text{ g/cm}^3$, calcula la razón entre la masa de la Tierra y la masa de la Luna (recuerda que $Masa = Volumen \times Densidad$).

Una escultura de hielo con forma de poliedro complejo se derrite uniformemente bajo el sol de manera que en todo momento mantiene una forma semejante a la original. Si después de 2 horas se observa que el área de su superficie ha disminuido en un $36\%$, ¿qué porcentaje de su volumen original se ha derretido hasta ese momento?

Una industria metalúrgica fabrica esferas macizas de acero de radio $R = 10 \text{ cm}$. Por motivos de ahorro, desean fabricar una nueva esfera semejante que utilice exactamente la mitad de cantidad de acero que la original. ¿Cuál debe ser el radio $r$ de la nueva esfera? Expresa el resultado exacto y una aproximación con dos cifras decimales.

Un silo agrícola está compuesto por un cilindro de altura $h$ y radio $r$, rematado por una semiesfera del mismo radio $r$. Se construye una maqueta a escala de tal manera que el volumen total de la maqueta es $\frac{1}{27}$ del volumen del silo real. Sabiendo que en el silo real la altura del cilindro es el triple de su radio ($h = 3r$), determina cuál es la razón entre el área de la superficie total de la maqueta y el área de la superficie total del silo real.

Un vaso tiene forma de tronco de cono invertido. El radio de la base superior mide $4 \text{ cm}$, el radio de la base inferior mide $2 \text{ cm}$, y la altura del vaso es de $10 \text{ cm}$. Prolongando virtualmente las paredes laterales del vaso se forma un cono completo. Utilizando la semejanza de triángulos en la sección transversal para hallar la altura del cono deficiente, calcula el volumen exacto del vaso.