Ejercicios: Semejanza de rectángulos

Comprueba si la pantalla de una tableta con una resolución de $2048 \times 1536$ píxeles es matemáticamente semejante a la pantalla de un monitor de ordenador con una resolución de $2560 \times 1440$ píxeles. Justifica tu respuesta calculando la razón de proporcionalidad entre sus lados.

Una fotografía impresa tiene unas dimensiones de $10 \text{ cm}$ de ancho por $15 \text{ cm}$ de largo. Queremos hacer una ampliación para un póster de forma que sea semejante a la original. Si el ancho de la ampliación debe ser de $60 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá su largo?

Una parcela de césped tiene forma rectangular y mide $40 \text{ m}$ de ancho por $60 \text{ m}$ de largo. En el plano del proyecto arquitectónico, el ancho de la parcela se ha dibujado con una longitud de $8 \text{ cm}$. ¿Cuál es el área que ocupa la parcela en el plano expresada en $\text{cm}^2$?

Dos rectángulos son semejantes. Las dimensiones del primer rectángulo son $5 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Si sabemos que el perímetro del segundo rectángulo es de $102 \text{ cm}$, determina la longitud de sus lados.

El lienzo de una pintura mide $40 \text{ cm}$ de base y $60 \text{ cm}$ de altura. Se le añade un paspartú (marco de cartón) de $10 \text{ cm}$ de grosor por cada uno de sus cuatro lados. ¿Es el rectángulo exterior del paspartú semejante al rectángulo interior del lienzo? Justifica tu respuesta calculando las proporciones.

La relación de aspecto de un televisor panorámico moderno es de $16:9$, lo que significa que el rectángulo de su pantalla es semejante a un rectángulo de $16 \text{ cm}$ de base y $9 \text{ cm}$ de altura. Si la base de la pantalla de un televisor mide $104 \text{ cm}$, ¿cuánto mide su altura?

El rectángulo $A$ tiene unas dimensiones de $x$ cm de altura y $18 \text{ cm}$ de base. El rectángulo $B$ mide $12 \text{ cm}$ de altura y $27 \text{ cm}$ de base. Sabiendo que ambos rectángulos son semejantes y que la base es el lado mayor en ambos casos, calcula el valor exacto de $x$.

Un folio estándar de tamaño DIN A4 mide $210 \text{ mm}$ de ancho por $297 \text{ mm}$ de largo. Si lo cortamos por la mitad con un corte paralelo al lado menor, obtenemos dos cuartillas de tamaño DIN A5. Calcula las dimensiones del DIN A5 y divide su lado mayor entre su lado menor para comprobar si mantiene aproximadamente la misma proporción que el DIN A4 original.

Una ventana rectangular mide $80 \text{ cm}$ de ancho y $120 \text{ cm}$ de alto. Se quiere instalar un marco de aluminio de un grosor constante $x$ alrededor de toda la ventana. Plantea una ecuación y demuestra si existe algún valor de $x > 0$ para el cual el rectángulo exterior del marco sea matemáticamente semejante al rectángulo interior de la ventana.

Una pantalla de televisión tiene una diagonal de $55 \text{ pulgadas}$ y su formato es semejante a un rectángulo de $16 \times 9$. Sabiendo que $1 \text{ pulgada}$ equivale a $2,54 \text{ cm}$, calcula las dimensiones exactas (base y altura) de la pantalla en centímetros.

El carné de identidad tiene unas dimensiones de $85,6 \text{ mm}$ por $53,98 \text{ mm}$. El rectángulo áureo es aquel en el que la razón entre su lado mayor y menor es el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. a) Comprueba si el carné es un rectángulo áureo aproximado calculando su proporción.
2. b) Si el ancho del carné fuera exactamente $54 \text{ mm}$, ¿cuánto debería medir el largo exacto, redondeado a dos decimales, para ser un rectángulo áureo perfecto?

Un campo de fútbol profesional tiene forma rectangular con unas dimensiones de $105 \text{ m}$ de largo y $68 \text{ m}$ de ancho. Para hacer prácticas tácticas, el entrenador dibuja en la pizarra un campo semejante cuya área es de $1785 \text{ cm}^2$. ¿Cuáles son las dimensiones en centímetros del campo dibujado en la pizarra?

Se dispone de una plancha de madera rectangular de $120 \text{ cm}$ de largo y $90 \text{ cm}$ de ancho. Se desea realizar un único corte recto paralelo al lado menor para desechar una franja de ancho $x$, de manera que el rectángulo de madera sobrante sea semejante al rectángulo original. Calcula el valor de $x$.

El formato de papel DIN se basa en la propiedad geométrica de que, al dividir un pliego por la mitad mediante un corte paralelo a su lado menor, los dos nuevos rectángulos obtenidos son semejantes al rectángulo original. Demuestra algebraicamente que para que un rectángulo de lados $a$ y $b$ (con $a > b$) cumpla esta propiedad, la razón entre el lado mayor y el lado menor debe ser exactamente $\sqrt{2}$.

En el interior de un triángulo isósceles de base $10 \text{ cm}$ y altura $6 \text{ cm}$ se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados descansa sobre la base del triángulo y los otros dos vértices tocan los lados iguales del triángulo. Si sabemos que el rectángulo inscrito tiene un formato $2:1$ (su base es el doble que su altura), calcula sus dimensiones exactas.

Los vértices de un rectángulo en el plano cartesiano son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. Se le aplica una homotecia de centro en el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y razón de semejanza $k = -2$ para obtener un nuevo rectángulo $A'B'C'D'$.

1. a) Calcula las coordenadas de los nuevos vértices.
2. b) Calcula el área del rectángulo original y del rectángulo transformado, y comprueba la relación entre ambas áreas empleando el cuadrado de la razón de semejanza.

Un cuadro rectangular tiene unas dimensiones de $a$ (base) y $b$ (altura), con $a > b$. Se le añade un marco de madera que tiene un grosor horizontal $x$ (en los laterales izquierdo y derecho) y un grosor vertical $y$ (arriba y abajo). Demuestra de forma algebraica que, para que el rectángulo exterior del marco sea semejante al rectángulo interior del cuadro, los grosores deben cumplir estrictamente la proporción $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.

A un cuadrado de lado $L$ se le adosa un rectángulo de dimensiones $L \times x$ (donde $x < L$) compartiendo un lado de longitud $L$. Se exige que el rectángulo total formado, de dimensiones $L \times (L+x)$, sea matemáticamente semejante al rectángulo pequeño que se ha adosado.

1. a) Plantea la ecuación de semejanza y calcula el valor exacto de $x$ en función de $L$.
2. b) Demuestra que el rectángulo total es un rectángulo áureo.

El "número de plata" se define en matemáticas como $\delta_S = 1 + \sqrt{2}$. Un rectángulo de plata es aquel en el que la razón entre su lado mayor y su lado menor es exactamente $\delta_S$. Demuestra algebraicamente que si a un rectángulo de plata se le recortan dos cuadrados máximos (cuyos lados son iguales a la altura del rectángulo), el rectángulo sobrante resultante sigue siendo un rectángulo de plata.

En un sistema de coordenadas, el perfil de un tejado a dos aguas asimétrico está delimitado por el eje de abscisas y los segmentos que unen el origen $(0,0)$ con el punto $(4,6)$, y este último con el punto $(12,0)$. Se quiere colocar un panel solar rectangular inscrito en este triángulo, apoyado sobre el eje $X$. Si se exige que el panel solar sea semejante al rectángulo que circunscribe al triángulo entero (es decir, un rectángulo de $12 \times 6$), calcula las dimensiones exactas del panel solar.

Se tiene un rectángulo $R_1$ de dimensiones $21 \times 13 \text{ cm}$. Se le recorta el mayor cuadrado posible, obteniendo un nuevo rectángulo $R_2$. A este $R_2$ se le vuelve a recortar el mayor cuadrado posible para obtener $R_3$, y así sucesivamente. Calcula las dimensiones de $R_2$, $R_3$ y $R_4$. ¿Es alguno de estos rectángulos estrictamente semejante a $R_1$? Calcula la razón entre el lado mayor y el menor en cada paso y explica a qué valor irracional se va aproximando esta sucesión de rectángulos.

Un huerto solar rectangular de dimensiones $a$ (largo) y $b$ (ancho), con $a > b$, se va a subdividir en $n$ parcelas rectangulares idénticas mediante cortes paralelos a su lado menor. Si se requiere que cada una de las $n$ parcelas sea matemáticamente semejante al huerto original, determina la expresión algebraica que debe cumplir la razón $\frac{a}{b}$ en función del número de parcelas $n$.

Dos rectángulos $R_1$ y $R_2$ son semejantes con una razón de semejanza $k > 1$ (siendo $R_2$ una ampliación de $R_1$). Sabemos que la diagonal de $R_1$ mide $D$ y que el perímetro de $R_1$ es $P$. Encuentra una expresión algebraica que permita calcular el área del rectángulo ampliado $R_2$ en función únicamente de $k$, $P$ y $D$.

Se considera un rectángulo $ABCD$ de base $AB = 8 \text{ cm}$ y altura $BC = 6 \text{ cm}$. Se traza la diagonal $AC$. Desde el vértice $B$ se traza la perpendicular a la diagonal, que la corta en el punto $H$. El segmento $BH$ es la altura del triángulo rectángulo $ABC$ sobre la hipotenusa. Demuestra, calculando sus dimensiones exactas, que el rectángulo que tiene por lados los segmentos $AH$ y $BH$ es matemáticamente semejante al rectángulo original $ABCD$.