Ejercicios: Semejanza de figuras

Observa los dos polígonos semejantes de la figura. Calcula la longitud de los tres lados desconocidos del segundo polígono sabiendo que el lado correspondiente al de $3 \text{ cm}$ mide $6 \text{ cm}$.

Determina si dos rectángulos son semejantes sabiendo que las dimensiones del primero son $15 \text{ cm}$ de base por $10 \text{ cm}$ de altura, y las del segundo son $24 \text{ cm}$ de base por $16 \text{ cm}$ de altura. Justifica tu respuesta.

En un mapa diseñado a escala $1:25 000$, la distancia en línea recta entre dos pueblos es de $8 \text{ cm}$. Calcula cuál es la distancia real entre ambos pueblos expresada en kilómetros.

La distancia real en línea recta entre dos ciudades es de $120 \text{ km}$. Si queremos representarlas en un mapa a escala $1:500 000$, ¿a qué distancia estarán separadas en el mapa, expresada en centímetros?

Dos triángulos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del triángulo menor es de $14 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?

El área de un cuadrado es de $16 \text{ cm}^2$. Si construimos un cuadrado semejante aplicando una razón de semejanza $k = 2,5$, ¿cuál será el área del nuevo cuadrado?

Una caja de embalaje con forma de ortoedro tiene un volumen de $50 \text{ dm}^3$. Si fabricamos una caja semejante cuyas dimensiones son exactamente el doble que las de la original, ¿cuál será su volumen?

Las áreas de dos pentágonos regulares son $25 \text{ cm}^2$ y $100 \text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los lados del pentágono mayor respecto a los lados del pentágono menor?

En una pizzería, una pizza pequeña de $20 \text{ cm}$ de diámetro cuesta $6 \text{ \euro}$. Si el precio es estrictamente proporcional al área de la pizza, ¿cuánto debería costar una pizza familiar de $30 \text{ cm}$ de diámetro?

Una maqueta de un rascacielos está construida a escala $1:200$. Si el volumen de la maqueta es de $1,5 \text{ dm}^3$, calcula el volumen real del rascacielos expresado en metros cúbicos.

Los lados de un cuadrilátero miden $4$, $6$, $7$ y $9 \text{ cm}$. Un cuadrilátero semejante a este tiene un perímetro total de $65 \text{ cm}$. Calcula la longitud de cada uno de los lados del cuadrilátero mayor.

Un bote cilíndrico de pintura tiene una capacidad de $2 \text{ litros}$ y su altura es de $15 \text{ cm}$. Se quiere fabricar un bote semejante que tenga una capacidad de $16 \text{ litros}$. ¿Cuál será la altura del nuevo bote?

En un plano topográfico a escala $1:10 000$, una parcela agrícola ocupa un área de $12 \text{ cm}^2$. Calcula el área real de la parcela en hectáreas. (Recuerda que $1 \text{ hectárea} = 10 000 \text{ m}^2$).

Observa el plano adjunto. Sabiendo que la parcela sombreada tiene un área en el papel de $12 \text{ cm}^2$ y que la escala gráfica indica $1:5000$, calcula el área real de la parcela en metros cuadrados.

Para pintar la fachada de una casa de muñecas se han utilizado $50 \text{ ml}$ de pintura. Si queremos pintar la fachada de una casa real que es $12$ veces más grande en todas sus dimensiones lineales, ¿cuántos litros de pintura necesitaremos suponiendo que ambas fachadas son figuras semejantes?

Dos esferas son semejantes. El área de la superficie de la esfera mayor es $9$ veces el área de la superficie de la menor. Si el volumen de la esfera menor es de $4 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera mayor?

Demuestra razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "Todos los rectángulos son semejantes entre sí, ya que todos sus ángulos interiores miden $90^\circ$". ¿Qué ocurre en el caso de los rombos? Justifica tu respuesta utilizando las condiciones de semejanza de polígonos.

Al ampliar una fotografía rectangular en un programa de edición, su área se ha incrementado en un $69\%$. Determina cuál es la razón de semejanza $k$ aplicada en la ampliación y calcula en qué porcentaje ha aumentado el perímetro de la fotografía.

Una pieza de ingeniería de titanio pesa $4,5 \text{ kg}$. Se va a fabricar una pieza geométricamente semejante pero de tamaño reducido, que debe pesar exactamente $500 \text{ gramos}$. Si la pieza original tiene una longitud máxima de $30 \text{ cm}$, ¿cuál será la longitud máxima de la nueva pieza reducida?

El área de la base de una pirámide es de $45 \text{ cm}^2$ y su volumen es de $180 \text{ cm}^3$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, obteniendo una pirámide deficiente (tronco de pirámide) y una pirámide menor en la parte superior. Si el área de la base de la pirámide menor es de $20 \text{ cm}^2$, calcula su volumen.

Observa la figura donde un cono de altura $H$ y volumen $V$ se corta por un plano paralelo a la base a una altura $h$ medida desde el vértice. Si queremos que el volumen del cono pequeño sea exactamente la mitad del volumen del cono grande ($\frac{V}{2}$), ¿cuál debe ser el valor exacto de la razón $\frac{h}{H}$? Expresa el resultado utilizando radicales.

Un depósito de agua cilíndrico cuesta $120 \text{ \euro}$ pintarlo por fuera y llenarlo de agua cuesta $400 \text{ \euro}$. Se construye un depósito semejante cuya altura es un $50\%$ mayor. Calcula el coste total de pintar y llenar el nuevo depósito, suponiendo que las tarifas por metro cuadrado de pintura y por litro de agua se mantienen constantes.

Una empresa fabrica latas cilíndricas semejantes. La lata A requiere $150 \text{ cm}^2$ de hojalata para su fabricación y contiene $300 \text{ ml}$ de zumo. Si la lata B requiere $540 \text{ cm}^2$ de hojalata para ser fabricada, ¿cuántos mililitros de zumo contiene?

Se construye una sucesión de figuras planas de la siguiente manera: la primera figura tiene un área de $100 \text{ cm}^2$. Cada figura posterior es semejante a la anterior con una razón de semejanza $k = \frac{3}{4}$. Escribe la expresión del área de la figura $n$-ésima y calcula a partir de qué figura el área será estrictamente menor de $10 \text{ cm}^2$.