Ejercicios: Perímetro, longitud y área de figuras planas

Un pentágono tiene un perímetro de $45\text{ cm}$. Si se construye otro pentágono semejante con una razón de semejanza $k = 3$, calcula el perímetro del nuevo pentágono.

La superficie de una señal de tráfico triangular es de $1200\text{ cm}^2$. Si se fabrica una réplica a escala con una razón de semejanza $k = \frac{1}{4}$, determina el área de la réplica.

Dos hexágonos irregulares son semejantes. El perímetro del primero es $60\text{ cm}$ y el del segundo es $15\text{ cm}$. Halla la razón de semejanza para pasar del hexágono grande al pequeño.

El área de un rectángulo es $50\text{ cm}^2$ y el área de un rectángulo semejante a él es $200\text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus lados?

En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de $8\text{ cm}$. Si la escala del mapa es $1:500\,000$, calcula la distancia real en kilómetros.

Una fotografía de $10\text{ cm}$ de ancho por $15\text{ cm}$ de alto se amplía multiplicando sus dimensiones por $2,5$. Calcula el área de la fotografía ampliada.

Dos triángulos isósceles son semejantes. El lado desigual del primero mide $8\text{ cm}$ y su área es $24\text{ cm}^2$. Si el lado desigual del segundo mide $24\text{ cm}$, ¿cuál es su área?

Sabiendo que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es $\frac{3}{5}$, ¿cuál será la razón entre sus áreas?

En el plano de un arquitecto, dibujado a escala $1:150$, el salón de una casa ocupa una superficie de $12\text{ cm}^2$. Calcula el área real del salón en metros cuadrados.

Un artista pinta un boceto en un lienzo de $20\text{ cm}$ de ancho por $30\text{ cm}$ de alto usando $15\text{ ml}$ de pintura azul. Si luego reproduce exactamente el mismo dibujo en un mural semejante de $3\text{ m}$ de alto, ¿cuántos litros de pintura azul necesitará?

Se tienen dos rombos semejantes. La suma de sus perímetros es $140\text{ cm}$ y la razón de semejanza entre ellos es $k = 2,5$. Determina el perímetro de cada uno de los rombos.

Una pizzería vende una pizza mediana de $20\text{ cm}$ de diámetro por $8\text{ €}$. Si el precio es estrictamente proporcional a la cantidad de pizza (su área), ¿cuánto debería costar una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diámetro elaborada con la misma receta?

Observa la figura:

La razón entre las áreas de dos octógonos regulares es $\frac{16}{9}$. Si la apotema del octógono menor mide $6\text{ cm}$, calcula la longitud de la apotema del octógono mayor.

En un parque hay un estanque circular. En un plano del parque, el estanque tiene un área de $15\text{ cm}^2$. Si el plano está a escala $1:2000$, determina el área real del estanque en hectáreas ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

Un triángulo $\triangle ABC$ de área $72\text{ cm}^2$ es cortado por un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, formando un triángulo más pequeño $\triangle ADE$ en la parte superior. Si la altura del triángulo pequeño es la tercera parte de la altura del triángulo original, calcula el área del trapecio $DBCE$.

Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero irregular con un área de $4500\text{ m}^2$. Se divide en dos parcelas mediante una valla recta paralela a uno de sus lados, de modo que la parcela resultante que comparte un vértice con la original es un cuadrilátero semejante al terreno completo. Si la longitud de la valla es $\frac{2}{3}$ de la longitud del lado al que es paralela, calcula el área de cada una de las dos parcelas resultantes.

Si se duplica el área de un polígono regular manteniendo su forma (es decir, creando uno semejante), ¿en qué porcentaje aproximado se incrementa su perímetro?

Dos hexágonos regulares están dispuestos de manera concéntrica como se muestra en la figura. El hexágono menor tiene sus vértices en los puntos medios de los lados de un hexágono intermedio, y este a su vez tiene sus vértices en los puntos medios de los lados del hexágono mayor. Si el área del hexágono menor es $12\text{ cm}^2$, halla el área del hexágono mayor.

Un proyector de cine emite una imagen rectangular sobre una pantalla. A una distancia $d$, la imagen tiene un área de $2,4\text{ m}^2$. Si alejamos el proyector $1,5\text{ m}$ más de la pantalla, el área de la imagen proyectada pasa a ser de $5,4\text{ m}^2$. Sabiendo que la razón de semejanza de las longitudes de la imagen es proporcional a la distancia a la pantalla, calcula la distancia inicial $d$.

La diferencia entre las áreas de dos polígonos semejantes es de $105\text{ cm}^2$. Si se sabe que la razón entre sus perímetros es $\frac{4}{3}$, determina el área de cada uno de los polígonos.

En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$, rectángulo en $A$, se traza la altura $AH$ sobre la hipotenusa $BC$. Esto divide al triángulo original en dos triángulos semejantes $\triangle HBA$ y $\triangle HAC$. Si el cateto $AB$ mide $15\text{ cm}$ y el cateto $AC$ mide $20\text{ cm}$, calcula el área de los dos triángulos pequeños utilizando la razón de semejanza entre ellos.

La cubierta de un libro antiguo mide $15\text{ cm} \times 22\text{ cm}$. Se quiere hacer una edición de bolsillo semejante a la original. Para ahorrar costes, el área de la cubierta de la edición de bolsillo debe ser exactamente el $60\%$ del área original. Calcula las dimensiones de la cubierta de la edición de bolsillo redondeando a dos cifras decimales.

Un rombo tiene diagonales que miden $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Se inscribe un rectángulo dentro del rombo de forma que sus lados sean paralelos a las diagonales y sus vértices se apoyen sobre los lados del rombo. Si el rectángulo inscrito es semejante a otro rectángulo de dimensiones $4\text{ cm}$ y $3\text{ cm}$, determina el área de dicho rectángulo inscrito.

La figura muestra la construcción descrita: