Ejercicios: Raíces (potencias de exponente racional)

Expresa los siguientes radicales como potencias de exponente fraccionario: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.

Escribe en forma de radical las siguientes potencias de exponente fraccionario: $m^{2/3}$, $5^{1/4}$, $y^{-3/2}$.

Calcula el valor numérico exacto de las siguientes potencias de exponente racional sin utilizar la calculadora: $27^{1/3}$, $16^{3/4}$, $25^{-1/2}$.

Simplifica los siguientes radicales expresándolos primero como potencia de exponente fraccionario y reduciendo la fracción obtenida: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$, $\sqrt[12]{a^8}$.

Realiza la siguiente multiplicación expresando previamente los radicales como potencias de exponente fraccionario. Da el resultado final en forma de radical: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$.

Realiza la siguiente división expresando los términos en forma de potencia de exponente racional y simplifica el resultado: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a}}$.

Calcula la potencia de la raíz pasando la expresión a exponente fraccionario y aplicando las propiedades de las potencias: $(\sqrt[5]{2})^3$.

Expresa la siguiente operación como una única potencia de exponente racional: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} : x^{1/4}$.

En un cultivo de laboratorio, la masa de un hongo se modela mediante la expresión $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en días. Si la masa inicial es de $15$ gramos, calcula la masa del hongo tras $6$ días y exprésala en forma de radical para el instante $t = 4$ días.

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional: $\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a}}$.

El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple de longitud $L$ (en metros) viene dado por la fórmula $T = 2\pi \cdot \left(\frac{L}{g}\right)^{1/2}$, donde $g$ es la aceleración de la gravedad. Si queremos que el periodo de oscilación se multiplique por $3$, ¿por qué factor debe multiplicarse la longitud del péndulo? Razona tu respuesta utilizando las propiedades de las potencias.

Simplifica la siguiente expresión algebraica operando con exponentes fraccionarios y expresa el resultado final sin exponentes negativos ni fraccionarios: $\left( \frac{x^{-1/2} \cdot y^{2/3}}{x^{1/3} \cdot y^{-1/6}} \right)^6$.

Un depósito con forma de cubo contiene exactamente $120$ litros de agua cuando está completamente lleno. Expresa la longitud de su arista interior en decímetros utilizando una potencia de exponente fraccionario.

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes números, pasando previamente cada radical a potencia de exponente racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$.

Efectúa la siguiente operación combinada pasando previamente todos los radicales a potencias de exponente racional de base $3$. Simplifica el resultado y exprésalo en forma de radical: $\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$.

En economía, si un capital crece a una tasa de interés compuesto anual $r$, el capital final tras $t$ años se calcula con la fórmula $C = C_0 (1+r)^t$. Calcula el capital final si se invierten $2\,000$ € al $5$ % de interés anual durante $18$ meses (expresa el tiempo como una fracción de año y deja la operación indicada con exponente racional).

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital $T$ de un planeta es proporcional al cubo del radio medio de su órbita $R$. Expresa $T$ en función de $R$ y de la constante de proporcionalidad $k$, utilizando exponentes fraccionarios. Si el radio de la órbita de Júpiter es aproximadamente $5,2$ veces el radio de la órbita de la Tierra, ¿cuántos años terrestres tarda Júpiter en dar una vuelta completa al Sol?

Simplifica la siguiente expresión algebraica operando desde el interior hacia el exterior y utilizando potencias de exponente racional. Expresa el resultado como una única potencia de base $x$: $\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^{-1}}}}$.

La superficie corporal $S$ y el volumen $V$ de un mamífero están relacionados de forma aproximada por la ley alométrica $S = k \cdot V^{2/3}$, donde $k$ es una constante. Si un elefante tiene un volumen $1\,000$ veces mayor que el de un perro mediano, ¿cuántas veces mayor será la superficie corporal del elefante respecto a la del perro? Justifica tu respuesta paso a paso usando las propiedades de las potencias.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, expresa previamente ambos miembros de la ecuación como potencias de base $5$ con exponente racional: $\sqrt[3]{5^{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{5^{x+2}}}$.

Racionaliza la expresión $\frac{2a}{\sqrt[5]{a^2}}$ interpretando la fracción como un cociente de potencias de exponente racional. Muestra todos los pasos utilizando las propiedades de los exponentes y expresa el resultado final en forma de radical.

Demuestra que la propiedad de los radicales $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ es cierta utilizando exclusivamente la definición de raíz como potencia de exponente racional y las propiedades de las potencias.

En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz se define mediante la expresión $\gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$, donde $v$ es la velocidad de la nave y $c$ la velocidad de la luz. Expresa esta fórmula utilizando notación de radicales y fracciones. A continuación, calcula el valor exacto de $\gamma$ en forma de fracción simplificada si una nave viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

Simplifica la siguiente expresión algebraica extrayendo el factor común de menor exponente (utilizando potencias de exponente racional): $x^{5/2} - x^{3/2}$. A continuación, evalúa el valor numérico de la expresión simplificada para $x = 4$.