Ejercicios: Teorema del resto

Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sin efectuar la división.

Sabiendo que el polinomio es $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x + 10$, calcula el valor numérico $Q(-3)$ y explica qué relación tiene este valor con la división de $Q(x)$ entre $x + 3$.

Determina, utilizando el teorema del resto, si el polinomio $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ es divisible entre $x - 2$.

Calcula el resto de dividir el polinomio $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicando el teorema del resto.

Comprueba mediante el teorema del resto si $x = -2$ es una raíz del polinomio $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.

Calcula el resto de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sin realizar la división por la regla de Ruffini.

Sabiendo que el resto de dividir un polinomio $P(x)$ entre $x - 4$ es $15$, indica cuál es el valor numérico de $P(4)$ y justifica tu respuesta basándote en el teorema del resto.

Halla el resto de la división de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ evaluando el polinomio en el valor adecuado.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sea igual a $10$.

La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de prueba viene dada por el polinomio $A(t) = 2t^3 - mt^2 + 4t + 5$, donde $t$ es el tiempo en segundos y $A(t)$ la altura en metros. Si a los $2$ segundos la altura es de $17$ metros, utiliza el teorema del resto para determinar el valor del parámetro $m$.

Halla el valor de $a$ para que el polinomio $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sea divisible entre $x + 2$.

Determina el valor de $b$ sabiendo que al dividir el polinomio $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ se obtiene el mismo resto que al dividirlo entre $x + 2$.

Calcula el resto de dividir el polinomio $S(x) = x^{100} - 3x^{99} + 5$ entre $x - 1$ aplicando el teorema del resto.

En un experimento de química, la concentración de un reactivo en función del tiempo se modela con el polinomio $C(t) = t^4 - 4t^3 + kt + 8$. Sabiendo que $C(t)$ es divisible entre $t - 2$, halla el valor de $k$ y, a continuación, calcula el resto de dividir $C(t)$ entre $t - 3$.

Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ entre el binomio $2x - 1$. Ten en cuenta el valor que anula al divisor para aplicar el teorema del resto.

Los ingresos diarios de una tienda, en cientos de euros, se aproximan mediante el polinomio $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, donde $x$ es el número de días transcurridos. Si el resto de dividir $I(x)$ entre $x - 5$ es $80$, halla el valor del término independiente $c$ usando el teorema del resto.

Un polinomio $P(x)$ de segundo grado cumple que al dividirlo entre $x - 1$ el resto es $4$, al dividirlo entre $x + 2$ el resto es $19$, y al dividirlo entre $x$ el resto es $1$. Halla la expresión algebraica completa de $P(x)$.

Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $x - 2$, el resto es $5$. Al dividir el mismo polinomio entre $x + 3$, el resto es $-5$. Calcula el resto de la división de $P(x)$ entre el producto $(x - 2)(x + 3)$, sabiendo que dicho resto debe ser un polinomio de grado menor que $2$.

El diseño del perfil de la carrocería de un coche deportivo se modela matemáticamente mediante un polinomio $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Para garantizar la aerodinámica óptima, el polinomio debe ser divisible entre $x - 2$ y dejar un resto de $15$ al ser dividido entre $x + 1$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando el teorema del resto y calcula los valores de $a$ y $b$.

Determina el valor de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 6$ sea divisible entre $x^2 - 5x + 6$. Aplica el teorema del resto evaluando en las raíces del divisor.

Calcula el resto de la división del polinomio $P(x) = (x - 3)^{2024} + (x - 2)^{2023} - x + 5$ entre $x - 3$ aplicando el teorema del resto.

Demuestra, utilizando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible entre $x - a$ para cualquier número natural $n \geq 1$.

En una empresa de tecnología, la función de coste de producción de un nuevo microchip se modela con un polinomio de tercer grado $C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que $C(0) = 10$, y que los restos de dividir $C(x)$ entre $x - 1$, $x + 1$ y $x - 2$ son $12$, $6$ y $30$ respectivamente. Calcula los coeficientes $a, b, c, d$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2kx^2 + k^2x - 8$ entre $x - 2$ sea exactamente el doble del resto de dividir $P(x)$ entre $x - 1$.