Ejercicios: Raíces de polinomios

Evalúa el polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analíticamente si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces suyas.

Utiliza la regla de Ruffini para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Escribe todos los números enteros que son candidatos a ser raíces del polinomio mónico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basándote en su término independiente.

Determina las raíces del polinomio que ya se encuentra factorizado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando cuáles son simples y cuáles múltiples.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que $x = -2$ sea una raíz exacta del polinomio $T(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 10$.

Construye un polinomio de tercer grado, desarrollado y ordenado, que tenga como raíces exactas $x = 1$, $x = -3$ y $x = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$.

Observa la gráfica de la función polinómica $y = P(x)$ y escribe cuáles son sus raíces reales basándote en los puntos de intersección con los ejes.

Justifica, sin realizar ningún cálculo complejo ni usar la regla de Ruffini, por qué $x = 0$ es obligatoriamente una raíz del polinomio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

Halla todas las raíces enteras del polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando la regla de Ruffini de forma iterativa.

El beneficio de una empresa tecnológica, en miles de euros, está dado por el polinomio $B(x) = -x^3 + 6x^2 - 5x$, donde $x$ representa los meses transcurridos desde el inicio del año fiscal. Determina en qué meses exactos el beneficio de la empresa es nulo.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ tenga como raíces exactas $x = 1$ y $x = -2$.

Un ingeniero diseña una pieza metálica cuyo volumen, en centímetros cúbicos, depende de una medida de ajuste $x$ según la expresión $V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Determina qué valores de $x$ hacen que el volumen sea nulo (es decir, halla todas las raíces del polinomio).

Escribe un polinomio de cuarto grado, en su forma desarrollada, que tenga a $x = 2$ como raíz doble, a $x = -1$ como raíz simple, que carezca de término independiente y cuyo coeficiente del término de mayor grado sea $3$.

Determina todas las raíces racionales del polinomio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para ello, indica primero la lista completa de fracciones candidatas y luego comprueba cuáles anulan el polinomio.

La trayectoria vertical de un dron submarino en fase de pruebas sigue la curva dada por $A(t) = t^4 - 10t^3 + 35t^2 - 50t + 24$, donde $A$ es la profundidad en metros y $t$ el tiempo en minutos desde el inicio de la inmersión. Encuentra en qué instantes $t$ el dron se encuentra exactamente en la superficie del agua ($A(t) = 0$).

Demuestra de forma razonada que el polinomio $P(x) = x^4 + 3x^2 + 5$ no tiene ninguna raíz real, analizando el signo que toman sus distintos términos para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$.

Sabiendo que un polinomio de tercer grado mónico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene como raíces $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ y $x_3 = 4$, determina el valor numérico de su término independiente $c$ y de su coeficiente de grado dos $a$. Justifica tu respuesta deduciéndolo a partir de la forma factorizada sin necesidad de realizar toda la multiplicación de los tres binomios.

Una caja sin tapa se construye a partir de una lámina rectangular de cartón de $40\text{ cm}$ por $30\text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas hacia arriba. Halla el polinomio $V(x)$ que define el volumen de la caja y determina todas sus raíces matemáticas (incluso aquellas que carezcan de sentido físico para la construcción de la caja).

Encuentra la expresión de un polinomio $Q(x)$ de grado 5 que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• $x = \sqrt{2}$ y $x = -\sqrt{2}$ son raíces simples.

• $x = 3$ es una raíz doble.

• La gráfica del polinomio pasa por el origen de coordenadas.

• El valor numérico del polinomio en $x = 1$ es $Q(1) = 8$.

Se sabe que el polinomio $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ tiene una raíz en $x = 2$. Halla primero el valor del parámetro $k$. A continuación, comprueba mediante la regla de Ruffini si $x = 2$ es una raíz múltiple (doble, triple...) y encuentra el resto de raíces reales del polinomio.

En un estudio de dinámica de poblaciones, el crecimiento de una colonia de bacterias viene dado por el modelo $C(t) = t^4 - 8t^3 + 22t^2 - 24t + 9$. Un biólogo afirma que la población se anula en exactamente dos instantes de tiempo distintos, y en ambos casos con multiplicidad par. Factoriza el polinomio para comprobar si el biólogo tiene razón e indica los instantes en los que $C(t) = 0$.

Demuestra analíticamente que si un polinomio $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ tiene todos sus coeficientes enteros y tanto $P(0)$ como $P(1)$ dan como resultado números impares, entonces $P(x)$ no puede tener ninguna raíz que sea un número entero. (Pista: razona sobre la paridad de $x$ cuando es par y cuando es impar).

El coste de producción de un componente tecnológico sigue la función polinómica $C(x) = 8x^3 - 36x^2 + 46x - 15$. Sabiendo que $x = \frac{3}{2}$ es una de las raíces exactas de este polinomio, determina las otras dos raíces resolviendo la ecuación resultante tras la división.

Un diseñador 3D crea una superficie curva cuyo perfil de corte transversal está modelado por el polinomio $P(x) = x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 5x - 6$. Halla todas las raíces de este perfil para saber en qué puntos exactos interseca con el eje horizontal de referencia.