Ejercicios: Factor común

Extrae el mayor factor común posible del polinomio $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.

Saca factor común en la siguiente expresión algebraica con dos variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.

Extrae el factor común $-3x$ del polinomio $Q(x) = -3x^3 + 12x^2 - 9x$.

El perímetro de un recinto viene dado por la expresión $P = 8x^2 + 12x$. Escribe esta expresión como el producto de dos factores extrayendo el factor común.

Saca factor común en la siguiente expresión con tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.

Un alumno ha extraído factor común en la expresión $4x^3 - 8x^2 + 4x$ dando como resultado $4x(x^2 - 2x)$. Identifica el error cometido y escribe el resultado correcto de la factorización.

Extrae factor común en la expresión $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.

Expresa el polinomio $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ sacando el máximo factor común posible.

Realiza una doble extracción de factor común (factorización por agrupación) en el polinomio $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.

El área total de un cilindro macizo de radio $r$ y altura $h$ viene dada por la expresión $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Extrae factor común para obtener una fórmula más compacta y calcula el área exacta si $r = 5$ cm y $h = 12$ cm usando la expresión factorizada.

Los costes de producción de una empresa en función del número de unidades fabricadas $x$ vienen dados por $C(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{8}x^2 + \frac{15}{4}x$. Extrae el mayor factor común posible, con coeficientes fraccionarios, de manera que el polinomio interior tenga coeficientes enteros.

Extrae el factor común en la expresión $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.

Saca factor común en el polinomio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ y comprueba si el factor de segundo grado resultante es una identidad notable. Escribe la factorización completa.

El volumen de un prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extrae factor común y aplica las identidades notables para expresar el volumen como el producto de tres polinomios de primer grado que representan las dimensiones del prisma.

Factoriza la siguiente expresión extrayendo factor común por agrupación de términos: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.

En un circuito eléctrico, la potencia disipada por tres resistencias en serie se expresa como $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extrae el factor común y encuentra los valores de intensidad $I$ para los cuales la potencia es nula.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extrayendo primero el factor común adecuado, asumiendo que $n$ es un número natural.

La figura muestra un rectángulo dividido en cuatro regiones de áreas $A_1 = x^2$, $A_2 = 3x$, $A_3 = 2x$ y $A_4 = 6$. Expresa el área total como un polinomio, extrae factor común por agrupación de términos y deduce las expresiones de la base y la altura del rectángulo total.

Encuentra el valor de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que al extraer factor común $2x^2$ al polinomio $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2$, el polinomio resultante es el cuadrado de un binomio, el coeficiente de $x^3$ es negativo y se cumple que $P(1) = 18$.

Factoriza la siguiente expresión algebraica compleja realizando extracciones sucesivas de factor común: $M(x, y) = x^2(x-y) - y^2(x-y) - x(x-y)^2 + y(x-y)^2$.

Un arquitecto diseña una estructura cuyo peso soportado en función de una variable estructural $x$ es $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extrae factor común y factoriza completamente el polinomio. ¿Para qué valores de $x > 0$ la estructura no soporta ningún peso?

Factoriza por agrupación de términos el polinomio de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parejas y busca un factor común binomial.

En el estudio de la deflexión de una viga, aparece el polinomio $D(x) = kx^5 - 3kx^4 + 3kx^3 - kx^2$, donde $k$ es una constante no nula. Extrae el factor común y factoriza el polinomio restante sabiendo que $x=1$ es una raíz múltiple.

Demuestra algebraicamente que la expresión $E = (2n+1)^2 - (2n-1)^2$ siempre es múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$, desarrollando los cuadrados y extrayendo factor común al resultado.