Ejercicios: Números irracionales

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales, justificando tu respuesta en función de su expresión decimal:

• $A = 3,14159265\dots$ (sin ningún patrón de repetición)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, escribe un contraejemplo que lo demuestre.

1. a) La suma de dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional.
2. b) Todos los números con infinitas cifras decimales son irracionales.
3. c) El número $\pi$ se puede escribir exactamente como una fracción de dos números enteros.
4. d) El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ está formado por la unión de los racionales $\mathbb{Q}$ y los irracionales $\mathbb{I}$.

Inventa y escribe la expresión decimal de dos números irracionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre los valores $7,4$ y $7,5$.

Clasifica el resultado exacto de las siguientes operaciones como número racional o irracional, realizando primero el cálculo:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Asocia cada uno de los siguientes números irracionales famosos con su símbolo matemático y su valor aproximado a las milésimas:

• Números: Número de oro, Pi, Número de Euler.

• Símbolos: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Valores: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) pertenece el número $-\sqrt{81}$. Escribe todos los conjuntos de los que forma parte.

Escribe un número irracional expresado en forma de raíz cuadrada que esté comprendido entre las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$.

Sin utilizar la calculadora, averigua si el número $\sqrt{250}$ es racional o irracional. Justifica tu razonamiento acotándolo entre los cuadrados perfectos más cercanos.

Representa de forma exacta en la recta real el número $\sqrt{10}$. Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar los catetos adecuados y describe los pasos de la construcción geométrica.

El formato estándar de las tarjetas de crédito y del DNI se aproxima en diseño a un "rectángulo áureo". Si el lado menor de un DNI mide $53,98$ mm, calcula la medida exacta del lado mayor utilizando la proporción áurea $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. ¿El resultado exacto es un número racional o irracional?

El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa de ida y vuelta) viene dado por la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la aceleración de la gravedad. Calcula el periodo exacto de un péndulo de $10$ metros de longitud suponiendo $g = 10 \text{ m/s}^2$. ¿El tiempo obtenido es un número racional o irracional?

Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre las aproximaciones decimales $1,41$ y el valor exacto de $\sqrt{2}$. Justifica tu respuesta.

Realiza la siguiente operación algebraica utilizando las identidades notables y clasifica el resultado final indicando a qué conjuntos numéricos pertenece:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2})^2$

Representa en la recta real el número irracional $1 + \sqrt{5}$. Detalla qué triángulo rectángulo utilizas para tu construcción y desde qué punto de la recta numérica debes comenzar a dibujar el arco.

Un campo de fútbol tiene unas dimensiones reglamentarias de $105$ m de largo por $68$ m de ancho. Calcula la longitud exacta de su diagonal en metros. ¿Se trata de un número racional o irracional? Si es irracional, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra.

En una circunferencia de radio $r = 5$ cm se inscribe un hexágono regular. Calcula el perímetro exacto del hexágono y la longitud exacta de la circunferencia. Demuestra que el cociente entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del hexágono es un número irracional independiente del radio.

Demuestra por reducción al absurdo que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Para ello, asume que se puede escribir como una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ (donde $a$ y $b$ no tienen divisores comunes) y llega a una contradicción analizando la paridad (si son pares o impares) de $a$ y de $b$.

Un rectángulo áureo tiene la propiedad matemática de que, si le quitamos un cuadrado formado por su lado menor, el rectángulo restante sigue siendo semejante al rectángulo original. Si el lado menor mide $1$ y el lado mayor mide $x$, plantea la ecuación de semejanza $\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}$. Resuélvela y demuestra que la solución positiva es exactamente el número irracional $\phi$.

Encuentra los valores racionales de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente expresión algebraica dé como resultado un número racional, y calcula dicho valor final:

$(a + 2\sqrt{5})(3 - b\sqrt{5}) = 11 - \sqrt{5}$

Representa de forma exacta en la recta real el número $\sqrt{7}$. Como $7$ no se puede expresar fácilmente como suma de dos cuadrados perfectos enteros, utiliza el Teorema de la Altura construyendo un semicírculo. Describe detalladamente las medidas de los segmentos sobre el eje X y el centro del arco.

Demuestra utilizando contraejemplos que el conjunto de los números irracionales ($\mathbb{I}$) no es cerrado bajo las cuatro operaciones aritméticas básicas. Es decir, encuentra dos números irracionales tales que su suma, su resta, su multiplicación y su división den como resultado un número racional en cada uno de los cuatro casos.

Encuentra dos números irracionales $x$ e $y$ tales que la potencia $x^y$ sea un número racional.

Pista: Considera el número $z = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Si $z$ es racional, ya has terminado. Si $z$ es irracional, ¿qué ocurre si lo elevas a $\sqrt{2}$?

La diagonal espacial de un cubo (el segmento que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente $\sqrt{12}$ cm. Calcula de forma exacta la superficie total y el volumen del cubo. Clasifica los resultados finales obtenidos como números racionales o irracionales.

Determina para qué valores enteros positivos de $n$ la expresión $\sqrt{n^2 + 5n + 6}$ resulta ser un número racional.

Pista: Analiza si el polinomio dentro de la raíz puede ser un cuadrado perfecto acotándolo entre los cuadrados de dos expresiones enteras consecutivas dependientes de $n$.