Ejercicios: Números reales

Representa de forma exacta en la recta real las fracciones $\frac{7}{3}$ y $-\frac{5}{4}$ dividiendo la unidad en las partes correspondientes.

Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$: $-1,5$, $-1$, $0$, $3,14$, $3,15$, $\sqrt{10}$.

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertenecen. Ten en cuenta que un número puede pertenecer a más de un conjunto.

• $A = -8$

• $B = 3,14159...$ (con infinitas cifras no periódicas)

• $C = \sqrt{25}$

• $D = 4,3\overline{5}$

• $E = \frac{\pi}{2}$

Expresa los siguientes conjuntos de números reales mediante desigualdades y represéntalos mentalmente en la recta real:

• El intervalo $[-4, 7)$

• La semirrecta $(-\infty, 3]$

• El entorno $E(0, 5)$

Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos de números definidos mediante desigualdades:

• $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 9\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -5\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 4\}$

Calcula la distancia en la recta real entre los siguientes pares de puntos utilizando el valor absoluto:

• $A(-9)$ y $B(3)$

• $C(4,5)$ y $D(-2,1)$

• $E\left(\frac{1}{2}\right)$ y $F\left(\frac{7}{2}\right)$

Indica la longitud que deben tener los catetos de un triángulo rectángulo para poder representar exactamente en la recta real los siguientes números irracionales, haciendo uso del Teorema de Pitágoras:

• $\sqrt{10}$

• $\sqrt{17}$

• $\sqrt{2}$

Los números reales son densos, lo que significa que entre dos números reales siempre hay infinitos números reales.

Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que estén estrictamente comprendidos entre $5,1$ y $5,2$.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

• La unión del conjunto de los números racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales ($\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$).

• Todo número decimal puede expresarse como una fracción.

• El conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números naturales ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$).

Dado el número irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$:

• Escribe su aproximación por truncamiento a las milésimas.

• Escribe su aproximación por redondeo a las milésimas.

• Calcula el error absoluto cometido en la aproximación por redondeo.

Un arquitecto diseña una ventana rectangular donde la base mide $\sqrt{12} \text{ m}$ y la altura mide $\sqrt{3} \text{ m}$. Calcula el perímetro y el área exacta de la ventana, expresando los resultados de la forma más simplificada posible.

Expresa mediante la unión de dos intervalos el conjunto de números reales cuya distancia al origen de coordenadas es estrictamente mayor que $5$.

Dados los siguientes intervalos y semirrectas de números reales:

$A = [-5, 4)$

$B = (1, 8]$

$C = (-\infty, 2]$

Calcula y expresa como un solo intervalo o semirrecta el resultado de las siguientes operaciones:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $B \cap C$

En un laboratorio de biología, una enzima solo se mantiene activa si la temperatura $T$ (en grados Celsius) de la incubadora cumple la condición estricta de estar a una distancia de $37,5^\circ\text{C}$ inferior a $1,2^\circ\text{C}$.

• Expresa esta condición mediante una desigualdad con valor absoluto.

• Expresa el rango de temperaturas aceptables como un entorno $E(a, r)$.

• Expresa el rango de temperaturas como un intervalo.

Representa geométricamente y de forma exacta el número irracional $\sqrt{8}$ sobre la recta real. Para ello, descompón el radicando en una suma de dos cuadrados perfectos y detalla los pasos de tu construcción.

Una fábrica de piezas de precisión produce varillas metálicas. La longitud ideal de la varilla es de $L = 150 \text{ mm}$. El departamento de control de calidad rechaza cualquier varilla cuya longitud difiera de la ideal en más de $0,8 \text{ mm}$.

• Expresa la condición de aceptación mediante una desigualdad con valor absoluto, siendo $x$ la longitud real de la varilla.

• Escribe el conjunto de longitudes aceptables en forma de intervalo.

• Si una varilla mide $149,3 \text{ mm}$, ¿será aceptada o rechazada?

Transforma los siguientes intervalos en la notación de entorno $E(a, r)$, determinando su centro $a$ y su radio $r$:

• $I_1 = (2, 10)$

• $I_2 = [-3,5; 7,5]$

• $I_3 = \left( \frac{1}{4}, \frac{5}{4} \right)$

Justifica si las siguientes afirmaciones son siempre ciertas, a veces ciertas o nunca ciertas, proporcionando un ejemplo en cada caso:

• La suma de dos números irracionales da como resultado un número irracional.

• El producto de un número racional distinto de cero por un número irracional es irracional.

• El cuadrado de un número irracional es un número racional.

El número de oro, denotado por la letra griega $\phi$ (fi), es un número irracional que aparece frecuentemente en el arte, la arquitectura y la naturaleza. Su valor exacto es $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

• Sabiendo que $\sqrt{5} \approx 2,23606$, calcula el valor aproximado de $\phi$ redondeado a cuatro cifras decimales.

• Explica detalladamente los pasos geométricos que seguirías para representar el número $\phi$ de forma exacta en la recta real.

Resuelve la siguiente ecuación con valor absoluto y representa el conjunto de sus soluciones sobre la recta real:

$|3x - 6| = 12$

Representa de forma exacta en la recta numérica el valor irracional $1 + \sqrt{5}$. Detalla el proceso de construcción geométrica paso a paso justificando las medidas utilizadas.

Resuelve la siguiente desigualdad con valor absoluto y expresa la solución final como un intervalo o unión de intervalos en la recta real: $|2x - 5| \leq 7$.

Demuestra mediante reducción al absurdo que la suma de un número racional $q$ y un número irracional $i$ da siempre como resultado un número irracional. Aplica este razonamiento para justificar formalmente por qué $2 + \sqrt{3}$ pertenece al conjunto de los números irracionales.

En un circuito electrónico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ de dos resistencias $R_1$ y $R_2$ conectadas en paralelo viene dada por la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si los valores de las resistencias son $R_1 = \sqrt{2} \text{ }\Omega$ y $R_2 = \sqrt{8} \text{ }\Omega$, calcula el valor exacto de $R_{eq}$ racionalizando y simplificando el resultado al máximo.

En la siguiente figura se muestra un procedimiento geométrico sobre la recta real. Identifica qué número irracional exacto se ha representado en el punto $P$ y justifica tu respuesta detallando cada paso de la construcción.

Un centro de distribución logística se va a situar en una carretera recta que une dos ciudades $A$ y $B$, situadas en los puntos kilométricos $10$ y $40$ respectivamente. Se quiere que la suma de las distancias del centro a ambas ciudades sea exactamente de $40\text{ km}$. Plantea una ecuación con valores absolutos y determina en qué puntos kilométricos $x$ podría situarse el centro.

Demuestra analíticamente que la intersección de los entornos $E(2; 3)$ y $E(4; 2)$ es otro entorno. Calcula el centro y el radio de este nuevo entorno resultante.

Encuentra una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ que aproxime el número irracional $\sqrt{7}$ de modo que el error absoluto cometido sea estrictamente menor que $0,05$. Expresa la condición del error utilizando desigualdades con valor absoluto.

Demuestra por reducción al absurdo que $\sqrt{3}$ es un número irracional. Para ello, asume que $\sqrt{3}$ es racional, es decir, que se puede expresar como una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ (donde $p$ y $q$ son enteros sin divisores comunes). Eleva al cuadrado ambos términos y analiza la paridad o divisibilidad entre 3 de $p$ y $q$ para llegar a una contradicción.

Encuentra el conjunto de números reales $x$ que verifican simultáneamente las dos siguientes condiciones:

1. Su distancia al punto $4$ es menor o igual que $5$.

2. Su distancia al punto $-2$ es estrictamente mayor que $3$.

Resuelve las inecuaciones con valor absoluto correspondientes y expresa la solución final como la unión de intervalos.

Representa geométricamente y de forma exacta el número irracional $\sqrt{13} - 2$ sobre la recta real.

Explica el proceso de construcción indicando en qué punto situarías el vértice del ángulo recto del triángulo rectángulo y cuáles serían las longitudes de sus catetos.

Sea el número $a = 1,9999...$ (con infinitos nueves en su parte decimal) y el número $b = 2$.

• Expresa el número $a$ en forma de fracción generatriz.

• Basándote en el resultado anterior, ¿existe algún número real estrictamente comprendido entre $a$ y $b$? Justifica tu respuesta razonando sobre la densidad de los números reales.