Ejercicios: Paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas tienen pendientes $m_1 = \frac{2}{3}$ y $m_2 = \frac{3}{2}$. Un alumno concluye que, como están formadas por las mismas cifras invertidas, las rectas son perpendiculares. Explica el error en este "truco" y cuál debería ser el valor de $m_2$ para que las rectas fueran verdaderamente perpendiculares.

Escribe las coordenadas de un vector que sea paralelo y de otro que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-4, 7)$.

Dada la recta $r$ de ecuación $y = -5x + 3$, indica cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a $r$ y cuál es la pendiente de cualquier recta perpendicular a $r$.

Calcula la ecuación explícita de la recta paralela a $y = 2x - 5$ que pasa por el punto $P(3, 1)$.

Determina la ecuación general de la recta perpendicular a $3x + 4y - 2 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas.

Estudia la posición relativa de las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: -4x + 2y - 8 = 0$.

Comprueba mediante el uso de vectores si los puntos $A(-1, 2)$, $B(2, 4)$ y $C(8, 8)$ están alineados.

Calcula el valor de $k$ para que los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (4, -2)$ sean perpendiculares.

Obtén la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje Y) que pasa por el punto $Q(-5, 2)$.

En el plano de una ciudad, la avenida principal sigue la recta $r: 2x - 5y + 10 = 0$. Se quiere construir una calle peatonal paralela a la avenida que pase por la plaza central, situada en el punto $P(4, -1)$. Halla la ecuación general de la nueva calle peatonal.

Un rayo láser se desplaza sobre la recta $x + 3y - 6 = 0$. Se coloca un espejo plano perpendicular al rayo en el punto exacto donde este corta al eje de abscisas. Determina la ecuación explícita de la recta que representa el espejo.

Halla el valor del parámetro $m$ para que la recta $mx - 3y + 5 = 0$ sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos $A(2, -4)$ y $B(5, 1)$.

Una parcela agrícola tiene forma de paralelogramo. Tres de sus vértices se sitúan en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$. Calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que los lados $AB$ y $CD$ son paralelos, al igual que los lados $AD$ y $BC$.

Calcula la ecuación general de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(-3, 5)$ y $B(1, -1)$.

Dos barcos siguen trayectorias rectilíneas. El barco A se desplaza por la recta $r: 4x + ky - 7 = 0$ y el barco B por la recta $s: x - 2y + 5 = 0$. Determina el valor de $k$ para que sus trayectorias sean paralelas y comprueba si en ese caso podrían colisionar (es decir, si las rectas son coincidentes).

En el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$, halla la ecuación general de la altura que parte del vértice $A$.

Determina las componentes de un vector $\vec{u}$ que sea perpendicular al vector $\vec{v} = (-6, 8)$ y cuyo módulo sea exactamente de $15$ unidades.

Dos cables tensores de un puente colgante se modelan en el plano cartesiano. El primer cable sigue la recta $r: ax - 3y - 4 = 0$ y el segundo pasa por los puntos $P(1, 3)$ y $Q(a, 5)$. Determina los posibles valores del parámetro $a$ para que los cables sean paralelos, y el valor de $a$ para que sean perpendiculares.

Halla las coordenadas del ortocentro (punto de corte de las alturas) del triángulo cuyos vértices son $A(0, 4)$, $B(-4, 0)$ y $C(2, -2)$.

En un videojuego, un personaje lanza un proyectil desde el punto $P(1, 6)$ en dirección perpendicular a un escudo de energía. El escudo se desplaza a lo largo de la recta que une los puntos $M(3, 2)$ y $N(7, -1)$. Calcula las coordenadas exactas del punto de impacto del proyectil sobre la recta del escudo.

Dada la recta $r: 2x - y + 3 = 0$ y el punto $A(4, 1)$, halla las coordenadas del punto $A'$, que es el simétrico de $A$ respecto a la recta $r$.

Un rayo de luz parte del punto $A(1, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas en un punto $P(x, 0)$ y se refleja pasando por el punto $B(7, 2)$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, calcula las coordenadas exactas del punto de impacto $P$.

Determina los valores de los parámetros $A$ y $B$ para que las rectas $r: Ax + By - 5 = 0$ y $s: 3x - 4y + 1 = 0$ sean perpendiculares y, además, se corten en un punto cuya ordenada es $y = 1$.

Un cuadrado $ABCD$ tiene el lado $AB$ sobre la recta $r: x + 3y - 5 = 0$. Sabiendo que el vértice $C$ tiene coordenadas $C(4, 7)$, halla la ecuación de la recta que contiene al lado $BC$ y calcula el área del cuadrado.

Demuestra analíticamente que el cuadrilátero de vértices $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$, $C(5, 4)$ y $D(0, 3)$ es un rombo. Para ello, comprueba que sus lados son paralelos dos a dos y que sus diagonales son perpendiculares entre sí.