Ejercicios: Distancia entre dos puntos

En un control, se pide la distancia entre los puntos $A(-2, 1)$ y $B(1, 5)$. La respuesta de un estudiante es $d(A, B) = \sqrt{(1 - (-2))^2 - (5 - 1)^2} = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7}$, y concluye que la distancia no existe. Localiza el error de signo en la fórmula utilizada y calcula la distancia correcta.

Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$ en el plano cartesiano.

Halla el módulo del vector $\vec{v} = (5, -12)$ utilizando la fórmula correspondiente.

Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-4, 2)$ y pasa por el punto $P(0, 5)$. Calcula la medida exacta de su radio.

Determina a qué distancia del origen de coordenadas $O(0,0)$ se encuentra el punto $M(-8, 15)$.

Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices se sitúan en las coordenadas $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(3, 4)$.

Comprueba matemáticamente si el punto $P(2, 3)$ equidista de los puntos $M(5, -1)$ y $N(-1, -1)$.

Dado el segmento de extremos $R(-3, -4)$ y $S(2, 8)$, calcula la longitud exacta del segmento $\overline{RS}$.

En un plano cartesiano donde cada unidad representa un metro, una hormiga se desplaza en línea recta desde la posición $P(-2, 7)$ hasta $Q(4, -1)$. ¿Cuántos metros exactos ha recorrido la hormiga?

Halla el valor o los posibles valores de la coordenada $a$ para que la distancia entre los puntos $A(a, 3)$ y $B(2, -1)$ sea exactamente de $5$ unidades.

Demuestra, calculando la longitud de sus tres lados y aplicando el recíproco del teorema de Pitágoras, si el triángulo de vértices $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ y $C(6, 1)$ es un triángulo rectángulo.

Un dron de vigilancia forestal realiza una ruta de patrullaje volando en línea recta entre tres torres de observación ubicadas en $T_1(-10, 5)$, $T_2(14, -2)$ y $T_3(2, 14)$, volviendo finalmente a $T_1$. Si las coordenadas están dadas en kilómetros, calcula la distancia total recorrida por el dron.

Encuentra las coordenadas del punto situado sobre el eje de abscisas que equidista de los puntos $A(1, 4)$ y $B(5, -2)$.

Calcula el área del triángulo de vértices $P(0, -3)$, $Q(14, -3)$ y $R(5, 9)$ aplicando la fórmula de Herón tras hallar la longitud exacta de sus tres lados.

Un brazo robótico debe soldar dos componentes en una placa de circuito. El primer punto de soldadura está en $S_1(12, 5)$ y el segundo en $S_2(3, -7)$ (medidas en milímetros). Si el cabezal del brazo se mueve a una velocidad constante de $4 \text{ mm/s}$, ¿cuánto tiempo tardará en desplazarse en línea recta desde $S_1$ hasta $S_2$?

El vector director de la trayectoria de un proyectil viene dado por la expresión $\vec{u} = (k-1, k+1)$. Determina los posibles valores del parámetro $k$ para que el módulo de dicho vector sea de $\sqrt{10}$ unidades.

Un agricultor quiere vallar un huerto circular. Sabe que los extremos de uno de los diámetros del huerto se sitúan en las coordenadas $M(-3, -5)$ y $N(7, 1)$ de su mapa topográfico (donde $1 \text{ unidad} = 10 \text{ m}$). Calcula el área total del huerto en metros cuadrados.

Un cometa se encuentra en la posición $C(10, 15)$ y una sonda espacial describe una trayectoria lineal dada por $2x - y - 1 = 0$. Un científico novato elige un punto aleatorio de la trayectoria, por ejemplo $P(1, 1)$, y calcula la distancia del cometa a la trayectoria como $d(C, P) = \sqrt{(10-1)^2 + (15-1)^2} = \sqrt{81 + 196} = \sqrt{277}$. Explica por qué este método no garantiza hallar la distancia real a la recta. Aplica la fórmula analítica correcta y encuentra el valor exacto de dicha distancia.

Dos de los vértices de un triángulo equilátero se encuentran en las coordenadas $A(-2, 0)$ y $B(2, 0)$. Determina las posibles coordenadas del tercer vértice $C(x, y)$ sabiendo que la distancia entre todos sus vértices es idéntica.

Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones que dé cobertura con la misma intensidad a tres pueblos ubicados en las coordenadas $P_1(-3, 2)$, $P_2(5, -4)$ y $P_3(4, 3)$. Determina las coordenadas exactas del circuncentro donde debe ubicarse la antena para que equidiste de los tres pueblos.

Dado el cuadrilátero de vértices $A(-4, 1)$, $B(2, -1)$, $C(4, 5)$ y $D(-2, 7)$, comprueba mediante el cálculo de las longitudes de sus cuatro lados y de sus dos diagonales que se trata de un cuadrado perfecto.

Encuentra las coordenadas exactas del punto $P$ que pertenece a la recta de ecuación $y = 2x - 3$ y que equidista de los puntos $A(-1, 4)$ y $B(5, 2)$.

En el diseño de una cubierta solar, un panel se apoya sobre dos postes verticales. En un plano transversal, la base del poste corto está en $O(0,0)$ y la del largo en $B(6,0)$. El extremo superior del poste corto está en $A(0, 2)$ y el del largo en $C(6, 5)$. Un cable tensor debe ir desde $A$ hasta un punto de anclaje $P(x, 0)$ en el suelo, y de ahí subir hasta $C$. Determina el valor exacto de $x$ que minimiza la longitud total del cable $d(A,P) + d(P,C)$.

Pista: considera utilizar el punto simétrico de $A$ respecto al eje X.

Los puntos $A(-1, 2)$ y $B(3, k)$ determinan un segmento cuya longitud es exactamente el doble de la longitud del segmento formado por los puntos $C(0, 0)$ y $D(1, -2)$. Plantea la ecuación correspondiente y calcula los posibles valores del parámetro $k$.

Un cometa sigue una trayectoria rectilínea que, en un mapa estelar, pasa por las coordenadas $C_1(-2, -2)$ y $C_2(6, 6)$ expresadas en unidades astronómicas (UA). Una estación de observación se encuentra en la posición estática $P(5, 1)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa de la estación de observación.

Los extremos de una de las diagonales de un cuadrado están situados en los puntos $M(-2, 5)$ y $N(6, -1)$. Sabiendo que las diagonales de un cuadrado se cortan en su punto medio, son perpendiculares y miden exactamente lo mismo, halla las coordenadas de los otros dos vértices $P$ y $Q$, y calcula el perímetro exacto del cuadrado.