Ejercicios: Coordenadas

Calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ sabiendo que su punto de origen es $A(-3, 5)$ y su extremo es $B(4, -2)$.

Determina el módulo del vector $\vec{v} = (6, -8)$. Simplifica el resultado si es posible.

Halla la distancia exacta entre los puntos $P(1, 4)$ y $Q(-5, -4)$ en el plano cartesiano.

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son $M(7, -1)$ y $N(-3, 9)$.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -5)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$, calcula las coordenadas del vector resultante de la operación $3\vec{u} - 2\vec{v}$.

Averigua las coordenadas del punto $A'$ sabiendo que es el simétrico de $A(-2, 6)$ respecto del centro de simetría $P(1, 1)$.

Comprueba analíticamente si los puntos $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ y $C(7, 11)$ están alineados calculando las componentes de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$.

Dado el vector $\vec{w} = (k, 3)$, calcula los posibles valores del parámetro $k$ para que el módulo de dicho vector sea exactamente $5$.

Un dron de vigilancia forestal despega del punto $A(-2, 1)$ en un mapa cuadriculado cuyas unidades están en kilómetros. Vuela en línea recta hasta el punto $B(4, 9)$ para revisar un claro sospechoso, y desde allí se desplaza directamente al punto $C(10, 1)$ para examinar un refugio. Calcula la distancia total que ha recorrido el dron durante este trayecto.

En un videojuego de exploración pirata, el cofre del tesoro está escondido en un punto $T$ que se encuentra exactamente sobre la línea recta que une la Roca de la Calavera $R(-4, -1)$ y el Gran Árbol $A(6, 4)$. Las pistas indican que la distancia de la Roca al tesoro es el doble que la distancia del tesoro al Árbol. Determina las coordenadas exactas del punto $T$.

El centro geométrico de una pista de patinaje circular sobre hielo está situado en las coordenadas $C(2, -3)$. Si uno de los extremos de la pista, donde se sitúa la puerta de entrada, está en el punto $A(-1, 1)$, halla las coordenadas del extremo diametralmente opuesto $B$ y calcula el diámetro total de la pista.

Un arquitecto diseña un puente suspendido en el que tres de los anclajes del cable principal deben estar perfectamente alineados para garantizar la tensión correcta. En el plano de obra, sus coordenadas son $P(-3, 2)$, $Q(1, 4)$ y $R(a, 7)$. Calcula el valor del parámetro $a$ para que la estructura sea estable.

Sobre un objeto puntual sometido a un experimento físico actúan dos fuerzas en el plano representadas por los vectores $\vec{F_1} = (4, 3)$ N y $\vec{F_2} = (-1, 5)$ N. Calcula el módulo de la fuerza resultante $\vec{F_R}$ que actúa sobre el objeto.

Los vértices de una parcela triangular destinada a un nuevo parque son $A(-3, -2)$, $B(5, 0)$ y $C(1, 8)$. El ayuntamiento quiere colocar una gran farola central exactamente en el baricentro de la parcela para optimizar la iluminación. Calcula las coordenadas donde debe instalarse la farola.

Demuestra de forma analítica, calculando la longitud exacta de cada uno de sus lados, que el triángulo formado por los puntos $A(2, 1)$, $B(5, 5)$ y $C(-2, 4)$ es un triángulo isósceles.

Determina las coordenadas de un vector $\vec{v}$ que sea paralelo al vector $\vec{u} = (-3, 4)$, pero que tenga un módulo de $15$ unidades y sentido contrario a $\vec{u}$.

Un robot de almacén se mueve a lo largo de una cinta transportadora rectilínea. En un instante dado, el sistema registra su paso por el punto $A(1, 2)$ y, más tarde, por la posición $B(4, 8)$. Si un sensor de proximidad debe estar ubicado obligatoriamente sobre el eje de abscisas, determina las coordenadas exactas de dicho sensor para que equidiste de los puntos $A$ y $B$.

Comprueba mediante el uso de vectores si el cuadrilátero de vértices $A(-4, -1)$, $B(2, -3)$, $C(4, 3)$ y $D(-2, 5)$ es un paralelogramo. A continuación, calcula su perímetro exacto expresando el resultado con radicales simplificados.

Dados los puntos $A(a, 1)$ y $B(2, a)$ dependientes del parámetro real $a$, halla los posibles valores de dicho parámetro para que la distancia entre $A$ y $B$ sea exactamente $\sqrt{5}$ unidades.

Para instalar una nueva red de fibra óptica subterránea, los ingenieros deben dividir el segmento rectilíneo que une la central de operaciones $C(-5, 2)$ con el nodo principal $N(7, -4)$ en cuatro tramos de idéntica longitud. Calcula las coordenadas de los tres puntos de conexión intermedios.

Un punto $P(x, y)$ cumple la condición de tener la misma abscisa que ordenada. Si se sabe que la distancia de $P$ al punto $M(2, 0)$ es igual a la distancia de $P$ al punto $N(0, 4)$, plantea la ecuación correspondiente y determina las coordenadas exactas del punto $P$.

En un sistema de posicionamiento aeroespacial, tres satélites están ubicados en las coordenadas $S_1(-2, k)$, $S_2(1, 2)$ y $S_3(k, -2)$. Determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que, por motivos de calibración, los tres satélites están perfectamente alineados y se cumple que $k > 0$.

Los puntos $A(-1, 3)$, $B(2, -1)$ y $C(x, y)$ forman los vértices de un triángulo rectángulo en el que el ángulo recto se sitúa en el vértice $B$. Sabiendo que el vértice $C$ se encuentra posicionado sobre el eje de ordenadas (eje Y), calcula las coordenadas exactas del punto $C$ haciendo uso del Teorema de Pitágoras.

Halla las coordenadas de los tres vértices de un triángulo $ABC$ sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son $M(2, 1)$, $N(3, -2)$ y $P(0, -1)$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente para resolverlo.