Ejercicios: Función cuadrática (parábola)

Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el sentido de las ramas de la parábola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función cuadrática $y = -x^2 + x + 6$.

Observa la gráfica de la siguiente parábola, que es una traslación de $y = x^2$. Escribe su expresión algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ y desarróllala para expresarla como un polinomio de segundo grado.

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = x^2 - 4x$ en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indican los signos obtenidos sobre el crecimiento de la función en esos intervalos?

Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.

Escribe la ecuación de la parábola que se obtiene al desplazar la gráfica de $y = -2x^2$ tres unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia arriba.

Calcula el valor del coeficiente $c$ para que la parábola de ecuación $y = x^2 - 6x + c$ pase por el punto $P(2, -3)$.

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.

El lanzamiento de una jabalina sigue una trayectoria parabólica dada por la función $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el lanzador y $h(x)$ es la altura en metros. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la jabalina? ¿A qué distancia del lanzador toca el suelo?

Halla la ecuación de la parábola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(-1, 4)$ y que corta al eje de ordenadas en $y = 2$.

Determina analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ y la recta $g(x) = -x + 1$. A continuación, observa la gráfica para comprobar tus resultados.

Un agricultor dispone de $120\text{ m}$ de valla para cercar un campo rectangular adyacente a un río recto. Si no necesita poner valla en el lado del río, ¿cuáles deben ser las dimensiones del campo para que su área sea máxima? ¿Cuál es esa área máxima?

El esquema ilustra la disposición del campo y del río:

Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(0, 3)$, $B(1, 4)$ y $C(-1, 6)$.

El beneficio mensual de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, donde $x$ es el número de unidades vendidas (en cientos). ¿Cuántas unidades debe vender para maximizar su beneficio y a cuánto asciende este? ¿Entre qué valores de $x$ la empresa no tiene pérdidas?

Escribe la expresión algebraica de una función cuadrática que tenga un máximo absoluto de valor $8$ en $x = 3$ y cuya gráfica pase por el origen de coordenadas.

Dada la función $f(x) = -2(x - 3)(x + 1)$, determina, sin desarrollarla a su forma polinómica, sus puntos de corte con el eje de abscisas, la abscisa de su vértice y el valor máximo que alcanza.

Se quiere inscribir un rectángulo en un triángulo isósceles de base $8\text{ cm}$ y altura $6\text{ cm}$, apoyando uno de los lados del rectángulo sobre la base del triángulo. Expresa el área del rectángulo en función de la mitad de su base, $x$, y determina las dimensiones del rectángulo de área máxima.

Dadas las parábolas $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = -x^2 + bx + c$, halla los valores de $b$ y $c$ para que ambas gráficas se corten en el vértice de $f(x)$ y en el origen de coordenadas.

Representa gráficamente la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ expresándola previamente como una función definida a trozos. Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos.

En una exhibición de fuegos artificiales, un cohete se lanza desde una plataforma a $10\text{ m}$ de altura. Sigue una trayectoria parabólica, alcanzando una altura de $25\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$, y explota al tocar el suelo a $60\text{ m}$ de distancia horizontal. Determina la ecuación de la trayectoria $y = ax^2 + bx + c$.

La gráfica representa la trayectoria descrita:

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $y = x^2 - 4x + 5$. Determina también las coordenadas del punto de tangencia.

Un teatro tiene aforo para $500$ personas. Con la entrada a $20\text{ \euro}$, el teatro se llena por completo. Un estudio de mercado indica que por cada euro que aumente el precio de la entrada, asistirán $10$ espectadores menos. ¿A qué precio se debe fijar la entrada para maximizar los ingresos del teatro? ¿Cuál será el ingreso máximo?

Determina los coeficientes $a$ y $b$ de la función $f(x) = ax^2 + bx - 3$ sabiendo que tiene un mínimo relativo en $x = -2$ y que la tasa de variación media en el intervalo $[-2, 1]$ es igual a $3$.

Se considera la familia de parábolas dada por la ecuación $f_m(x) = mx^2 - 2mx + 1$, donde $m$ es un parámetro real distinto de cero. Demuestra que todas las parábolas de esta familia pasan por dos puntos fijos independientes del valor de $m$ y calcula las coordenadas de dichos puntos.