Ejercicios: Función proporcionalidad inversa

Un estudiante calcula las asíntotas de la función $f(x) = \frac{4x+1}{x-2}$ y concluye que tiene una asíntota horizontal en $y=0$ porque "todas las funciones racionales siempre tienden a cero en el infinito". Identifica el error en su regla nemotécnica y halla la ecuación correcta de la asíntota horizontal.

Dada la siguiente tabla que relaciona la base $x$ y la altura $y$ de distintos rectángulos con la misma área:

• $x$: $2$, $3$, $4$, $6$

• $y$: $12$, $8$, $6$, $4$

Determina si la relación entre $x$ e $y$ corresponde a una función de proporcionalidad inversa. En caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la expresión algebraica de la función.

Sea la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$.

Indica su dominio, su recorrido, las ecuaciones de sus asíntotas y determina si la función es creciente o decreciente en su dominio.

Su representación gráfica es la siguiente:

Encuentra la expresión algebraica de la función de proporcionalidad inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(-2, 5)$.

Dada la función $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica las ecuaciones de sus asíntotas horizontal y vertical, y las coordenadas del centro de simetría de la hipérbola.

Un tren recorre una distancia fija de $120\text{ km}$. Escribe la función que relaciona el tiempo $t$ (en horas) que tarda en hacer el recorrido en función de la velocidad media $v$ (en $\text{km/h}$). ¿Qué tipo de función es? Identifica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.

Calcula las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = \frac{6}{x-2} + 3$.

A partir de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{x}$, explica qué transformaciones geométricas (traslaciones horizontales y verticales) hay que aplicar para obtener la gráfica de la función $g(x) = \frac{1}{x-5} + 4$.

Una piscina portátil se llena en $12\text{ horas}$ usando una manguera. Si usamos $x$ mangueras idénticas, el tiempo de llenado es $y$ horas. Escribe la fórmula de la función que modeliza esta situación y calcula cuánto tardaría en llenarse la piscina si usamos $3$ mangueras simultáneamente.

Expresa la función racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canónica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuando la división de polinomios correspondiente. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y su dominio.

Representa gráficamente la función $f(x) = \frac{-4}{x-1} + 2$. Indica su dominio, su recorrido y las ecuaciones de sus asíntotas.

La ley de Boyle-Mariotte establece que, a temperatura constante, el volumen que ocupa un gas es inversamente proporcional a la presión a la que está sometido. Un gas ocupa un volumen de $4\text{ litros}$ a una presión de $1,5\text{ atmósferas}$.

Halla la fórmula de la función que relaciona el volumen $V$ con la presión $P$. ¿Qué volumen ocupará el gas si la presión se incrementa hasta las $3\text{ atmósferas}$?

Una clase de 4º ESO organiza una excursión de fin de curso. El alquiler del autobús cuesta $540\text{ \euro}$.

Escribe la función que determina el precio $p$ que debe pagar cada alumno en función del número $x$ de alumnos que asistan. Si finalmente van $27$ alumnos, ¿cuánto pagará cada uno? ¿Y si a última hora se apuntan $3$ alumnos más?

La gráfica muestra cómo varía el precio por alumno con el número de asistentes:

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{4}{x}$ y la recta $y = -x + 5$.

La siguiente gráfica corresponde a una función de la forma $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Observando la gráfica y sus asíntotas, determina el valor de los parámetros $k$, $a$ y $b$.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x} & \text{si } x < -1 \\ 2x & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Estudia analíticamente su continuidad en los puntos de cambio de definición $x = -1$ y $x = 2$.

Para imprimir unos folletos publicitarios, una imprenta cobra un fijo de $30\text{ \euro}$ en concepto de diseño y preparación de máquinas, más $0,05\text{ \euro}$ por cada folleto impreso.

Escribe la función que da el coste medio por folleto en función del número $x$ de folletos encargados. ¿A qué valor tiende el coste medio si se imprime una cantidad inmensa de folletos?

Un estudiante debe analizar y representar la función racional $f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$. En su informe, concluye que la función tiene una asíntota vertical en $x=3$ porque este valor anula el denominador, y presenta el siguiente boceto:

Demuestra analíticamente por qué la afirmación del estudiante es falsa, indica qué tipo de discontinuidad presenta realmente la función en $x=3$ y calcula el límite verdadero en dicho punto para corregir la gráfica.

Determina analíticamente los puntos de corte entre la función racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ y la recta $g(x) = x+1$.

Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \frac{ax+b}{cx-2}$ tenga una asíntota horizontal en $y = 3$, una asíntota vertical en $x = -1$ y su gráfica pase por el origen de coordenadas.

Un depósito de agua tiene dos grifos de llenado. El primer grifo tarda $x$ horas en llenarlo por sí solo, y el segundo grifo tarda $x+3$ horas en llenarlo por sí solo.

Expresa el tiempo $t$ que tardarían en llenar el depósito si se abren los dos grifos a la vez, en función de $x$. Si juntos tardan exactamente $2\text{ horas}$, ¿cuánto tarda cada grifo por separado?

Se quiere construir un marco rectangular de madera cuya área interior sea de $24\text{ cm}^2$.

Escribe la función que relaciona el perímetro $P$ del marco en función de la longitud de su base $x$. Determina, a partir de la expresión algebraica, si la función tiene alguna asíntota oblicua y explica su significado geométrico.

Discute, en función del parámetro $m$, el número de puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-2}{x}$ y la recta $y = mx + 2$.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$:

Calcula la expresión de la función compuesta $(f \circ f)(x)$ simplificando el resultado al máximo. A partir de lo obtenido, ¿qué conclusión puedes sacar sobre la función inversa de $f(x)$?

El coste total de producción de $x$ unidades de un componente electrónico en una fábrica viene dado por la función $C(x) = 2000 + 15x$.

Escribe la función del coste medio por unidad $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Analiza si esta función tiene asíntotas horizontales y explica detalladamente su significado económico en el contexto de la producción de la fábrica.

Resuelve la inecuación $\frac{3x-1}{x+2} \le 2$ apoyándote en el estudio de la función $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$. Para ello, obtén su forma canónica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ mediante división polinómica y determina el intervalo solución observando las intersecciones.