Ejercicios: Función exponencial

Al estudiar las traslaciones de funciones elementales, un estudiante afirma que la gráfica de $y = 3^{x+2}$ se obtiene desplazando la gráfica original de $y = 3^x$ dos unidades hacia la derecha. Corrige esta afirmación indicando el sentido del desplazamiento real.

Al simplificar la expresión de una función exponencial $f(x) = 2^x \cdot 2^3$, un alumno obtiene como resultado $f(x) = 4^{x+3}$. Explica qué propiedad de las potencias ha aplicado incorrectamente al manipular las bases y escribe la expresión simplificada correcta.

Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función exponencial y justifica tu respuesta:

1. a) $f(x) = x^3$
2. b) $g(x) = 3^x$
3. c) $h(x) = 3x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
5. e) $j(x) = 1^x$

Dada la función exponencial $f(x) = 4^x$, calcula los valores de la función para $x = -2$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$ y $x = 2$. Expresa los resultados en forma de fracción irreducible cuando sea necesario.

Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu decisión en función del valor de su base:

1. a) $f(x) = 1,8^x$
2. b) $g(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
3. c) $h(x) = 0,3^x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{7}{4}\right)^x$

La gráfica de una función exponencial de la forma $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 125)$. Determina el valor de la base $a$ y escribe la expresión algebraica de la función.

En un laboratorio se está estudiando el crecimiento de un cultivo de bacterias. Inicialmente se introducen $50$ bacterias en una placa de Petri y se observa que su número se duplica cada hora. Escribe la función $P(t)$ que proporciona el número de bacterias en función del tiempo $t$ (en horas) y calcula cuántas habrá tras $4$ horas.

Observa las gráficas de las funciones exponenciales representadas en los paneles A y B. Una corresponde a $f(x) = 3^x$ y la otra a $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Asigna cada expresión a su gráfica correspondiente y explica qué relación geométrica existe entre ambas.

Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función exponencial $f(x) = 2,5^x$. ¿Corta esta función al eje de abscisas en algún punto? Razona tu respuesta.

Completa una tabla de valores para la función $f(x) = 5^{-x}$ tomando los valores enteros de $x$ desde $-2$ hasta $2$. Escribe una función exponencial equivalente a $f(x)$ pero que tenga el exponente positivo.

Una familia deposita $6000$ euros en una cuenta de ahorro que ofrece un interés compuesto anual del $2,5\%$. Escribe la función $C(t)$ que expresa el capital acumulado al cabo de $t$ años. ¿Cuál será el saldo de la cuenta después de $8$ años si no se realiza ningún movimiento? Redondea el resultado a dos cifras decimales.

A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica qué transformaciones geométricas (traslaciones) hay que aplicar para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 4$. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de la función $g(x)$.

El precio de un componente tecnológico se devalúa con el tiempo según una función exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, donde $t$ se mide en años. Si el componente costaba $800$ euros cuando era nuevo ($t=0$) y al cabo de $2$ años su valor es de $450$ euros, calcula los valores exactos de $k$ y $a$. ¿Cuál será su valor a los $4$ años?

Una sustancia radiactiva pierde la mitad de su masa cada $15$ días. Si en el momento inicial hay una muestra de $200$ gramos, escribe la función $M(t)$ que modeliza la masa restante en función del tiempo $t$ (en días). ¿Cuántos gramos quedarán exactamente después de $60$ días?

Calcula la tasa de variación media de la función exponencial $f(x) = 3^x$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 3]$. ¿Qué observas al comparar ambos resultados? ¿Qué indica esto sobre el ritmo de crecimiento de la función exponencial en comparación con una función lineal?

La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observando la asíntota horizontal y los puntos destacados en la curva, determina los valores de los parámetros $p$ y $q$, y escribe la expresión analítica completa de la función.

Una noticia falsa se difunde en una red social siguiendo un modelo exponencial $N(t) = 15 \cdot 1,4^t$, donde $N(t)$ es el número de personas que conocen la noticia y $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿Cuántas personas conocían la noticia al inicio de la medición? ¿Cuántas la conocerán al cabo de $6$ horas? (Redondea al número entero más próximo).

Halla analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función exponencial $f(x) = 3^{x+2} - 27$.

Determina y justifica para qué valores del parámetro $m$ la función $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una función exponencial estrictamente decreciente. Ten en cuenta las condiciones algebraicas que debe cumplir la base de una función exponencial de este tipo.

En un ecosistema conviven dos especies de insectos. La población de la especie A viene dada por $P_A(t) = 500 \cdot 4^t$, y la de la especie B por $P_B(t) = 32000 \cdot 0,5^t$, siendo $t$ el tiempo en meses. ¿En qué instante $t$ ambas poblaciones tendrán exactamente el mismo número de individuos? Resuélvelo planteando y resolviendo la ecuación exponencial correspondiente.

Observa la gráfica de la función exponencial, cuya expresión algebraica tiene la forma $f(x) = k \cdot a^x + c$. Identifica la ecuación de la asíntota horizontal para deducir el valor de $c$, y utiliza las coordenadas de los puntos destacados en la figura para plantear un sistema de ecuaciones que te permita calcular los parámetros $k$ y $a$. Escribe la expresión final de la función.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} 3^{x-1} + 2 & \text{si } x \le 2 \\ m \cdot x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Halla el valor exacto del parámetro $m$ para que la función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.

Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto colocado en una habitación a temperatura constante se modeliza mediante una función exponencial. Una taza de café recién hecha sigue la función $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ el tiempo en minutos.

1. a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café?
2. b) ¿Cuál es la temperatura ambiente de la habitación? (Pista: analiza la tendencia de la función cuando el tiempo $t$ se hace inmensamente grande).
3. c) ¿Qué temperatura tendrá el café a los $10$ minutos?

Dadas las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = 4 - x^2$, razona gráficamente cuántos puntos de corte tienen. A continuación, comprueba mediante ensayo y error (tanteo) cuáles son las coordenadas exactas de esos puntos de intersección, probando con valores enteros pequeños.

Una empresa de marketing ofrece dos planes de remuneración a sus comerciales. El Plan A consiste en un salario base de $1000$ euros el primer mes, más un aumento fijo de $200$ euros por cada mes adicional de antigüedad. El Plan B ofrece un salario inicial de $100$ euros el primer mes, pero la cantidad se multiplica por $1,5$ cada mes. Escribe las funciones $S_A(t)$ y $S_B(t)$ (siendo $t$ el número del mes) y determina, calculando los valores mes a mes, a partir de qué mes el Plan B resulta estrictamente más rentable que el Plan A.

La masa $M$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en años) según la expresión $M(t) = M_0 \cdot 3^{-t/20}$, donde $M_0$ es la masa inicial. Si se sabe que tras $40$ años quedan exactamente $15$ gramos de isótopo, calcula la masa inicial $M_0$. ¿Cuántos gramos quedarán cuando hayan transcurrido $60$ años en total?