Ejercicios: Dominio recorrido e imagen de una función

Un alumno afirma que el dominio de la función racional $f(x) = \frac{3x}{x^2+9}$ es $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$. Explica cuál es el error en su razonamiento al evaluar el denominador y escribe el dominio correcto de la función.

En un examen, un alumno indica que el dominio de la función radical $g(x) = \sqrt{12 - 3x}$ es el intervalo $[4, +\infty)$. Demuestra matemáticamente por qué este resultado es un error común al resolver inecuaciones y calcula el dominio correcto.

Determina el dominio de definición de la siguiente función polinómica:

$f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$

Halla el dominio de la siguiente función racional:

$f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$

Calcula el dominio de definición de la función con radical:

$f(x) = \sqrt{3x + 12}$

A partir de la siguiente representación gráfica de la función $f(x)$, determina su dominio y su recorrido.

Halla el dominio de la siguiente función racional con denominador de segundo grado:

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

Determina el dominio de la siguiente función logarítmica:

$f(x) = \log_2(5 - x)$

Un aparcamiento cobra $2$ € por cada hora o fracción de hora que un vehículo permanece estacionado, con un límite máximo de $12$ horas al día. Escribe la función que relaciona el tiempo de estacionamiento $x$ (en horas) con el importe a pagar $f(x)$, y determina su dominio y su recorrido en el contexto de este problema.

Calcula el dominio de la siguiente función que contiene un radical de índice impar:

$f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$

Determina el dominio de la siguiente función con un radical cuadrático:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Halla el dominio de definición de la función que combina una fracción y una raíz:

$f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$

Observa la gráfica de la función a trozos $g(x)$. Determina su dominio y su recorrido, prestando especial atención a la asíntota vertical y a los puntos donde los intervalos son abiertos o cerrados.

Con un alambre de $40$ cm de longitud se quiere construir un rectángulo. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo, determina la expresión de la función área $A(x)$ y halla su dominio de definición teniendo en cuenta las limitaciones geométricas del problema.

Se lanza un pequeño cohete de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en metros) que alcanza en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 20t - 5t^2$. Determina el dominio y el recorrido de esta función sabiendo que el movimiento termina cuando el cohete impacta de nuevo contra el suelo.

Calcula el dominio de la siguiente función logarítmica con argumento cuadrático:

$f(x) = \ln(9 - x^2)$

Determina el dominio de la función que incluye una raíz en el numerador y un polinomio en el denominador:

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$

Una empresa que fabrica componentes electrónicos ha determinado que los ingresos diarios por vender $x$ componentes vienen dados por $I(x) = 150x - x^2$, y los costes totales de producción por $C(x) = 2000 + 10x$. Sabiendo que la fábrica tiene una capacidad máxima de producción de $100$ componentes al día, determina la función beneficio $B(x)$ y su dominio válido en este contexto económico.

Determina el dominio de la siguiente función, que requiere resolver una inecuación racional dentro de una raíz cuadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Halla analíticamente el recorrido de la siguiente función cuadrática (recuerda calcular las coordenadas de su vértice):

$f(x) = -3x^2 + 12x - 5$

Calcula los valores que debe tomar el parámetro $k$ para que el dominio de la siguiente función sea todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:

$f(x) = \frac{2x - 7}{x^2 + kx + 16}$

A partir de una lámina rectangular de cartón de $40 \text{ cm} \times 25 \text{ cm}$ se desea construir una caja sin tapa. Para ello, se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan los bordes hacia arriba. Determina la expresión de la función volumen $V(x)$ de la caja y halla su dominio de definición válido.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 5x + 4$, halla la expresión analítica de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ y determina rigurosamente su dominio.

Analiza la siguiente gráfica de la función $h(x)$. Determina su dominio, su recorrido y los puntos donde la función no está definida o presenta alguna discontinuidad, indicando de qué tipo se trata.

Determina el dominio de la siguiente función logarítmica cuyo argumento es una expresión racional:

$f(x) = \log_2\left(\frac{x^2 - 4}{x}\right)$

Calcula el dominio de la siguiente función racional que incluye un valor absoluto en su denominador:

$f(x) = \frac{3x + 1}{|x - 3| - 5}$