Ejercicios: Crecimiento, máximos y mínimos

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 4x - 7$ en los intervalos $[-2, 1]$ y $[1, 5]$. A la vista de los resultados, ¿qué relación existe entre la tasa de variación media y la pendiente de una función afín?

Dada la función cuadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, halla su tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$. ¿Qué indica el resultado obtenido sobre el valor de la función en los extremos del intervalo?

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Escribe también las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.

La siguiente tabla muestra los beneficios diarios (en cientos de euros) de un pequeño comercio durante una semana:

Identifica en qué días se alcanzan los máximos y mínimos relativos de los beneficios durante esa semana, justificando tu respuesta en base al crecimiento y decrecimiento.

Halla las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si dicho vértice corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.

Sin necesidad de representarla gráficamente, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un paciente desde que ingresa en urgencias viene dada por la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Calcula la tasa de variación media de la temperatura en las dos primeras horas ($t \in [0, 2]$).

Si sabemos que la tasa de variación media de una función continua en el intervalo $[1, 4]$ es negativa, ¿podemos asegurar con total certeza que la función es estrictamente decreciente en todo ese intervalo? Razona tu respuesta de forma teórica o mediante un ejemplo gráfico.

Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura en metros viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la tasa de variación media de la altura en los intervalos $[0, 2]$ y $[6, 8]$. Interpreta físicamente el significado y el signo de los resultados obtenidos.

Una fábrica de bicicletas estima que sus beneficios mensuales, en miles de euros, siguen la función $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, donde $x$ es la cantidad de bicicletas producidas en decenas de unidades. ¿Cuántas bicicletas deben fabricar para obtener el máximo beneficio posible? ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?

La gráfica adjunta muestra la concentración de un medicamento en la sangre de un paciente (en mg/L) en función del tiempo transcurrido (en horas) desde su administración. Determina los intervalos donde la concentración aumenta y disminuye, e indica el momento en el que se alcanza la concentración máxima y su valor aproximado.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ alcance un máximo relativo en el punto $(2, 11)$.

El coste medio de producción de $x$ decámetros de un cable especial viene dado por la función $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la tasa de variación media del coste entre $x = 10$ y $x = 20$. ¿El coste medio crece o decrece en ese intervalo de producción?

Estudia de forma analítica el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x \le -1 \\ -x^2 + 2x + 7 & \text{si } x > -1 \end{cases}$

El número de usuarios conectados a una nueva red social crece según la función $U(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$. Compara los resultados y explica qué sucede con el ritmo de crecimiento de la red social a medida que pasa el tiempo.

El perfil altimétrico de una etapa ciclista de montaña se aproxima mediante la gráfica adjunta. Identifica a qué distancia de la salida se encuentran los puertos de montaña (máximos relativos) y los valles (mínimos relativos), indicando la altitud aproximada en cada caso.

Un agricultor dispone de $240$ metros de valla para cercar un campo rectangular que colinda con un río recto. Si el lado que da al río no necesita ser vallado, expresa el área del campo en función de su anchura $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del campo para que el área encerrada sea la máxima posible?

Una compañía de autobuses cobra $30$ euros por billete y, a ese precio, logra vender $400$ billetes diarios. Un estudio de mercado indica que por cada euro que aumente el precio del billete, se venderán $10$ billetes menos. Expresa los ingresos diarios de la compañía en función del incremento del precio en euros, $x$. ¿Qué precio del billete maximiza los ingresos y cuántos billetes se venderán a ese precio?

Se desea construir una ventana que tenga la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro total de la ventana (incluyendo la base, los lados verticales y el arco semicircular) debe ser exactamente de $8$ metros, determina la anchura de la base que permite que el área de la ventana sea máxima, permitiendo así la mayor entrada de luz.

La tasa de variación media de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ en el intervalo $[-1, 1]$ es $2$, y en el mismo tipo de cálculo para el intervalo $[1, 3]$ resulta ser $10$. Sabiendo que la función pasa por el punto $(0, -3)$, determina su expresión algebraica completa y halla las coordenadas exactas de su vértice.

La gráfica muestra el crecimiento en altura de dos especies de plantas, A y B, a lo largo de $8$ semanas en un invernadero. Observando las curvas, determina en qué intervalo de tiempo la planta A creció más rápido que la B (comparando sus tasas de variación media) y en qué semana la diferencia de altura entre ambas fue nula.

El coste total diario de producción de $x$ decámetros de una tela especial en una fábrica viene dado por la función $C(x) = 2x^2 - 120x + 2500$ (en euros). Por otro lado, los ingresos diarios obtenidos por la venta de esos $x$ decámetros siguen la función $I(x) = 80x$ (en euros). Escribe la función que representa el beneficio diario $B(x)$ y determina cuántos decámetros deben fabricarse y venderse para que el beneficio sea máximo. ¿De cuánto será ese beneficio máximo?

Dada la función $f(x) = \frac{k}{x^2 + 4}$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que el valor máximo absoluto de la función es $5$. Para ese valor de $k$, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[0, 2]$ y en el intervalo $[-2, 0]$. ¿Qué propiedad geométrica de la función justifica que los resultados tengan signos opuestos?

Demuestra de forma algebraica, calculando la tasa de variación media en un intervalo genérico $[x_1, x_2]$ (donde $x_1 < x_2 < 0$), que la función de proporcionalidad inversa $f(x) = -\frac{4}{x}$ es estrictamente creciente en el intervalo $(-\infty, 0)$.