Ejercicios: Funciones continuas. Discontinuidades

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina en qué puntos de su dominio presenta alguna discontinuidad. Clasifica cada una de ellas indicando si se trata de una discontinuidad evitable, de salto finito o de salto infinito.

Dada la función racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indica su dominio de definición y el punto en el que presenta una discontinuidad. ¿De qué tipo de discontinuidad se trata? Justifica tu respuesta estudiando el comportamiento de la función alrededor de ese punto.

Una función definida a trozos viene dada por la siguiente expresión:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en $x=1$ y los límites laterales cuando $x$ tiende a 1. ¿Es continua la función en dicho punto? Si no lo es, clasifica la discontinuidad.

En un aparcamiento de bicicletas de una ciudad, la tarifa es de 2 € por la primera hora o fracción, y 1,50 € por cada hora o fracción adicional. Si representamos la función que relaciona el tiempo de estacionamiento continuo (en horas) con el precio a pagar (en euros), ¿qué tipo de discontinuidad presentará la gráfica en los valores enteros del tiempo ($t=1, 2, 3\dots$)?

Considera la función $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.

Calcula el valor de la función en $x=4$ si es posible. A continuación, simplifica la expresión algebraica y calcula el límite cuando $x$ tiende a 4. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=4$?

Halla los puntos de discontinuidad de la función $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ e indica de qué tipo es cada una, analizando si el numerador se anula o no en dichos puntos.

Estudia la continuidad en $x=0$ de la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Clasifica la discontinuidad existente en dicho punto.

Un depósito de agua de una granja se llena a un ritmo constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 500 litros. En ese mismo instante, se abre una válvula de descarga rápida de emergencia que vacía el depósito por completo de forma casi instantánea. Si dibujamos la gráfica del volumen de agua en función del tiempo, ¿qué tipo de discontinuidad matemática se observa en el minuto 10?

Calcula el valor que debe tener el parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Una compañía eléctrica ofrece una tarifa para pymes: se pagan 15 € fijos más 0,12 € por cada kWh consumido, hasta un máximo de 100 kWh. Si el consumo supera los 100 kWh, la tarifa cambia y se cobra a 0,10 € TODOS los kWh consumidos (eliminando el coste fijo de 15 €).

Escribe la función a trozos que determina el coste total en función de los kWh consumidos. ¿Es continua la función en un consumo exacto de 100 kWh? Si no lo es, indica el tipo de discontinuidad y el "salto" en el precio.

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y responde a las siguientes cuestiones:

1. Determina el dominio de la función.

2. Identifica los puntos de discontinuidad y clasifícalos.

3. Escribe el valor de los límites laterales en $x = -1$ y en $x = 3$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determina su dominio de definición. Estudia analíticamente el tipo de discontinuidad que presenta en $x=1$ y en $x=-1$ calculando los límites laterales correspondientes.

Un atleta de 100 metros lisos acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 8 m/s en 4 segundos. Mantiene esa velocidad constante durante 10 segundos. Justo en ese momento, sufre un tirón muscular y su velocidad cae instantáneamente a 0 m/s.

Expresa la función velocidad $v(t)$ a trozos respecto al tiempo $t$ y clasifica la discontinuidad que se produce en el instante de la lesión.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{3}{x-2} + \frac{x}{x+1}$. Identifica los puntos donde no es continua y justifica analíticamente de qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso.

Determina el valor de $a$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+ax-10}{x-2}$ tenga una discontinuidad evitable en $x=2$. ¿Cuál sería el valor del límite de la función cuando $x$ tiende a 2 en ese caso concreto?

Considera la función definida por $f(x) = \frac{|x+3|}{x+3}$.

Reescribe la función como una función a trozos (sin usar el valor absoluto). A continuación, estudia su continuidad en $x=-3$ y clasifica la discontinuidad.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x < -1 \\ x^2 + b & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

En un país ficticio, el impuesto sobre la renta anual se calcula de la siguiente manera progresiva:

• Las rentas de hasta 20 000 € pagan un 10 % sobre el total.

• El tramo de renta que excede los 20 000 € y llega hasta 50 000 € paga un 20 % (sumado a lo que ya se pagó por los primeros 20 000 €).

• El tramo de renta que excede los 50 000 € paga un 30 % (sumado a lo anterior).

Escribe la función a trozos $T(x)$ que calcula el impuesto total a pagar para una renta $x$. Demuestra analíticamente que la función $T(x)$ es matemáticamente continua en $x=20\,000$ y en $x=50\,000$.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 4x + 3}$, factoriza los polinomios del numerador y del denominador mediante la regla de Ruffini y resolución de ecuaciones para encontrar el dominio de la función. Estudia y clasifica detalladamente las discontinuidades que presenta en los puntos excluidos del dominio.

La velocidad de una reacción química $R(T)$ en función de la temperatura $T$ (en °C) viene dada por un modelo matemático a trozos. Para temperaturas hasta el punto de ebullición ($T \le 100$), $R(T) = 3T + k$. Para temperaturas superiores ($T > 100$), el modelo cambia a $R(T) = a \cdot 2^{T-100}$.

Se sabe que en el punto de ebullición ($T=100$) se produce una discontinuidad de salto finito, de modo que la velocidad aumenta repentinamente en 50 unidades respecto al límite por la izquierda. Si la velocidad justo en el instante de ebullición ($T=100$) es de 320 unidades, calcula los valores exactos de los parámetros $k$ y $a$.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ en el punto $x=0$. Para ello, multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador, calcula el límite cuando $x$ tiende a 0, y clasifica la discontinuidad resultante.

Encuentra los valores de $m$ y $n$ para que la función racional $f(x) = \frac{mx^2 + nx - 6}{x^2 - 4}$ tenga una discontinuidad evitable en $x=2$ y una discontinuidad de salto infinito en $x=-2$.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2-4}{|x-2|}$.

Escríbela como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto de forma rigurosa. Estudia su continuidad en $x=2$ calculando los límites laterales y clasifica la discontinuidad.

Un dron de exploración submarina de masa $m$ se mueve en un medio viscoso. Su velocidad vertical $v(t)$ experimenta una discontinuidad de salto infinito en el instante $t=5$ debido a una corriente extrema, y una discontinuidad evitable en $t=2$ por un fallo transitorio en el sensor de medición.

Propón una expresión algebraica racional para $v(t)$ que cumpla simultáneamente estas dos condiciones y que, además, parta del reposo en el origen de tiempos ($v(0)=0$). Justifica tu respuesta analizando los límites de la función que has propuesto.