Ejercicios: Distribuciones condicionadas

Dada la siguiente tabla de doble entrada que relaciona las variables $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$10$	$2$	$5$	$1$
$20$	$0$	$4$	$3$
$30$	$4$	$1$	$0$

Escribe la tabla de frecuencias de la distribución de la variable $Y$ condicionada a $X = 10$ y calcula el tamaño de esta subpoblación.

A partir de la distribución conjunta de las variables $X$ e $Y$ dada en la tabla:

$X \setminus Y$	$0$	$5$
$2$	$10$	$2$
$4$	$8$	$6$
$6$	$1$	$12$

Calcula la media aritmética de la distribución de $X$ condicionada a $Y = 5$, es decir, $\bar{x}_{|y=5}$.

En un estudio sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha aislado la distribución de $Y$ condicionada a un valor específico $x_i$, obteniendo las siguientes frecuencias absolutas:

$Y | X = x_i$	Frecuencia absoluta ($f_{j|i}$)
$100$	$4$
$200$	$12$
$300$	$4$

Calcula las frecuencias relativas condicionadas $h_{j|i}$ para cada valor de $Y$ y comprueba que suman $1$.

Observa la siguiente tabla de contingencia:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$	$40$
$1$	$1$	$8$	$2$	$0$
$2$	$5$	$3$	$9$	$1$
$3$	$2$	$2$	$4$	$7$

Determina la moda de la distribución de $Y$ condicionada a $X = 2$ y la moda de la distribución de $X$ condicionada a $Y = 30$.

Se ha extraído la distribución condicionada de una variable $Y$ para un grupo concreto $X = a$, resultando en los siguientes datos:

El tamaño del grupo es $N_{|x=a} = 20$.

La suma de los valores es $\sum f_{j|a} \cdot y_j = 160$.

La suma de los cuadrados es $\sum f_{j|a} \cdot y_j^2 = 1400$.

Calcula la varianza condicionada $\sigma^2_{Y|X=a}$.

Se analiza el número de faltas de ortografía ($Y$) en un dictado según el curso ($X$). Se extraen las dos distribuciones condicionadas para $X=3$ y $X=4$:

Distribución $Y | X=3$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frecuencias: $2, 5, 2, 1$

Distribución $Y | X=4$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frecuencias: $5, 3, 2, 0$

Calcula la media de faltas en cada curso ($\bar{y}_{|x=3}$ y $\bar{y}_{|x=4}$) e indica en qué curso se cometen, en promedio, menos faltas.

Dada la distribución de la variable $X$ condicionada a $Y = 10$:

$X | Y = 10$	$2$	$4$	$6$
$f_{i|10}$	$3$	$5$	$2$

Sabiendo que la media condicionada es $\bar{x}_{|y=10} = 3,8$, calcula la desviación típica condicionada $\sigma_{X|Y=10}$.

En una tabla de doble entrada se tienen las siguientes frecuencias relativas condicionadas para la variable $Y$ respecto a dos valores de $X$:

Para $X = 1$: $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Para $X = 2$: $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Razona si las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes o dependientes basándote exclusivamente en estos datos.

En un estudio de nutrición se relaciona el contenido de carbohidratos en gramos ($X$) y el contenido de proteínas en gramos ($Y$) de varias barritas energéticas. Los resultados se agrupan en la siguiente tabla:

$X \setminus Y$	$5$	$10$	$15$
$20$	$8$	$12$	$0$
$30$	$2$	$15$	$5$
$40$	$0$	$4$	$14$

Calcula la media y la desviación típica del contenido de proteínas para aquellas barritas que tienen exactamente $30\text{ g}$ de carbohidratos (distribución $Y|X=30$).

La Dirección General de Tráfico ha recopilado datos sobre la edad de los conductores ($X$, en años) y el número de multas recibidas en el último año ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[18, 30)$	$15$	$25$	$10$
$[30, 50)$	$40$	$15$	$5$
$[50, 70)$	$35$	$5$	$0$

Utilizando la marca de clase para la variable $X$, calcula la edad media de los conductores que han recibido exactamente $1$ multa en el último año ($\bar{x}_{|y=1}$).

En una explotación agrícola se analiza la cantidad de fertilizante aplicado por hectárea ($X$, en decenas de kg) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas).

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
$1$	$5$	$1$	$0$
$2$	$2$	$8$	$2$
$3$	$0$	$3$	$9$

Calcula la varianza de la producción condicionada a que se han aplicado $20\text{ kg}$ de fertilizante ($\sigma^2_{Y|X=2}$).

Se realiza una encuesta en un centro escolar preguntando el género ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) y la red social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$30$	$20$	$10$
$2$	$45$	$30$	$15$

Calcula las distribuciones de frecuencias relativas condicionadas $Y|X=1$ e $Y|X=2$. A la vista de los resultados, ¿son independientes el género y la red social preferida en esta muestra?

En un estudio sobre videojuegos, se relaciona el número de horas jugadas a la semana ($X$) con el nivel alcanzado en el juego ($Y$). Para el grupo de jugadores que dedican $10$ horas ($X=10$), se tiene la siguiente distribución incompleta:

$Y | X = 10$	$5$	$15$	$25$
$f_{j|10}$	$4$	$k$	$2$

Sabiendo que el nivel medio alcanzado por este grupo es $\bar{y}_{|x=10} = 13$, plantea una ecuación y determina el valor de la frecuencia absoluta desconocida $k$.

En una fábrica, dos máquinas distintas ($X=1$ y $X=2$) producen el mismo tipo de pieza. Se analiza el número de defectos por lote ($Y$).

Para la Máquina 1 ($X=1$): $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ defectos, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ defectos.

Para la Máquina 2 ($X=2$): $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ defectos, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ defectos.

Calcula el coeficiente de variación condicionado para cada máquina ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) e indica qué máquina tiene una producción más homogénea en cuanto al número de defectos.

El siguiente diagrama de burbujas representa la distribución conjunta de dos variables discretas $X$ e $Y$. El tamaño de la burbuja y el texto adyacente indican la frecuencia absoluta conjunta $f_{ij}$ de cada par de valores $(x_i, y_j)$.

Extrae la tabla de frecuencias de la distribución de $X$ condicionada a $Y = 20$ y calcula su media aritmética $\bar{x}_{|y=20}$.

En una estación meteorológica se registra la velocidad máxima del viento ($X$, en km/h) y la humedad relativa ($Y$, en %). Los datos se agrupan en intervalos bidimensionales:

$X \setminus Y$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
$[0, 20)$	$2$	$10$	$18$
$[20, 40)$	$5$	$15$	$6$
$[40, 60)$	$12$	$4$	$0$

Utilizando las marcas de clase, calcula la humedad relativa media en aquellos días en los que la velocidad del viento estuvo comprendida entre $40$ y $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40, 60)}$).

Dada la siguiente tabla de contingencia con dos frecuencias absolutas desconocidas, $a$ y $b$:

$X \setminus Y$	$2$	$6$
$10$	$4$	$a$
$20$	$b$	$2$

Se sabe que la media de $Y$ condicionada a $X=10$ es $\bar{y}_{|x=10} = 5$, y que la media de $X$ condicionada a $Y=2$ es $\bar{x}_{|y=2} = 16$.

Plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores de las frecuencias $a$ y $b$.

En un hospital se prueba un nuevo tratamiento. La variable $X$ indica el tratamiento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) y la variable $Y$ indica el resultado ($0=\text{No curado}$, $1=\text{Curado}$). Los pacientes se dividen en dos grupos de riesgo, formando dos distribuciones condicionadas:

Grupo de Riesgo Bajo:

Tratamiento Estándar: $10$ curados de $50$ pacientes.

Tratamiento Nuevo: $2$ curados de $10$ pacientes.

Grupo de Riesgo Alto:

Tratamiento Estándar: $6$ curados de $10$ pacientes.

Tratamiento Nuevo: $25$ curados de $50$ pacientes.

Calcula el porcentaje de curación (que equivale a la media $\bar{y}$) para cada tratamiento dentro de cada grupo de riesgo. Luego, agrupa todos los pacientes y calcula el porcentaje de curación global para cada tratamiento. ¿Qué tratamiento parece mejor en los grupos separados y cuál parece mejor globalmente? (Este fenómeno se conoce como la Paradoja de Simpson).

En un estudio estadístico sobre la variable $X$ (categoría profesional) e $Y$ (salario en miles de euros), se tienen tres categorías ($X=1, 2, 3$). Se conocen los siguientes datos de las distribuciones condicionadas $Y|X=x_i$:

Categoría 1: $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Categoría 2: $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Categoría 3: $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calcula primero la media global marginal $\bar{y}$. A continuación, calcula la varianza marginal $\sigma_Y^2$ utilizando la fórmula de descomposición de la varianza (o calculando la suma total de cuadrados a partir de los datos dados).

Una distribución bidimensional teórica de frecuencias relativas conjuntas (probabilidades) viene dada por la expresión $h_{ij} = k \cdot (x_i + y_j)$, donde $X$ toma los valores $\{1, 2\}$ e $Y$ toma los valores $\{1, 2, 3\}$.

Construye la tabla de doble entrada en función de $k$. Sabiendo que la suma de todas las frecuencias relativas debe ser $1$, halla el valor de $k$. Posteriormente, calcula la media de la distribución condicionada $X|Y=2$.

Un analista financiero estudia la relación entre el nivel de riesgo de un fondo de inversión ($X$, puntuado de $1$ a $3$) y su rentabilidad anual ($Y$, en %).

$X \setminus Y$	$2$	$6$	$10$
$1$	$10$	$10$	$0$
$2$	$5$	$20$	$5$
$3$	$0$	$5$	$15$

El analista define el "ratio de desempeño" de un nivel de riesgo como el cociente entre su rentabilidad media condicionada y su desviación típica condicionada: $R_i = \frac{\bar{y}_{|x=i}}{\sigma_{Y|X=i}}$.

Calcula este ratio para los niveles de riesgo $X=2$ y $X=3$. ¿Qué nivel de riesgo ofrece un mejor ratio según este criterio?

Se desea reconstruir una tabla de contingencia $2 \times 2$ de frecuencias absolutas $f_{ij}$ para las variables $X \in \{0, 1\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Se dispone de la siguiente información sobre las distribuciones marginales y condicionadas:

• Marginal de $X$: $N_{x=0} = 30$, $N_{x=1} = 20$.

• Marginal de $Y$: $N_{y=0} = 25$, $N_{y=1} = 25$.

• Media condicionada: $\bar{y}_{|x=0} = 0,3$ (recuerda que al tomar $Y$ valores $0$ y $1$, la media coincide con la proporción de unos).

Calcula las cuatro frecuencias conjuntas $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ y construye la tabla de doble entrada completa.

En un estudio de biología marina se relaciona la profundidad a la que habita una especie ($X$, en metros) con su longitud ($Y$, en cm). Los datos se agrupan en intervalos de distinta amplitud:

$X \setminus Y$	$[0, 10)$	$[10, 30)$	$[30, 70)$
$[0, 50)$	$24$	$10$	$2$
$[50, 150)$	$6$	$18$	$16$

Utilizando las marcas de clase, calcula la varianza de la longitud para los especímenes que habitan en la zona profunda ($X \in [50, 150)$), es decir, $\sigma^2_{Y|X \in [50, 150)}$.

Demuestra numéricamente una propiedad fundamental de la independencia estadística. Dada la siguiente tabla donde $X$ e $Y$ son independientes (sus frecuencias relativas conjuntas son el producto de las marginales):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	Total
$1$	$10$	$30$	$40$
$2$	$15$	$45$	$60$
Total	$25$	$75$	$100$

Calcula la media marginal $\bar{y}$ y las medias condicionadas $\bar{y}_{|x=1}$ e $\bar{y}_{|x=2}$. Comprueba que, al ser independientes, se cumple la igualdad $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.