Ejercicios: Inecuaciones de segundo grado

Resuelve la inecuación $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factorizando el polinomio y estudiando el signo de los factores. Expresa la solución como un intervalo.

Resuelve la inecuación $x^2 > 4$ y expresa la solución usando intervalos.

Resuelve la inecuación $x^2 + 3x < 0$.

Resuelve la inecuación $(x - 1)(x + 3) > 0$ construyendo una tabla de signos.

Resuelve la inecuación $2x^2 - 8 \geq 0$.

Resuelve la inecuación $x(x - 4) \leq 0$.

La figura muestra la parábola $y = x^2 - 2x - 3$.

Úsala para resolver la inecuación $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicando qué zona de la gráfica hay que mirar.

Valora si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la solución de la inecuación $x^2 < 9$ es $x < 3$». Justifica tu respuesta y da la solución correcta.

Resuelve la inecuación $x^2 - 2x - 8 \geq 0$.

Resuelve la inecuación $-x^2 + 6x - 5 > 0$. ¿Qué particularidad tiene respecto a las anteriores y cómo la resuelves?

Resuelve la inecuación $x^2 \leq 3x + 10$.

Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ y expresa la solución como un intervalo.

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba y su altura, en metros, a los $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t$, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Entre qué instantes está la pelota por encima de los $15$ m? b) ¿Cuánto tiempo dura el vuelo completo de la pelota?

Una parcela rectangular tiene un largo que mide $5$ m más que el doble del ancho. Si su área no supera los $150\ \text{m}^2$, ¿qué valores puede tomar el ancho de la parcela?

1. a) Resuelve la inecuación $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Aunque en el enunciado aparece $x^2$, la inecuación no es de segundo grado: explica por qué y comenta si hacía falta usar el procedimiento de las inecuaciones cuadráticas.

Un alumno resuelve así la inecuación $x^2 - 4x > 0$: «divido ambos miembros entre $x$ y queda $x - 4 > 0$, luego la solución es $x > 4$». Explica los dos errores que ha cometido (uno relacionado con el signo de $x$ y otro con las soluciones perdidas) y resuelve la inecuación correctamente.

En un espectáculo pirotécnico, la altura $h$, en metros, de un cohete a los $t$ segundos del lanzamiento viene dada por $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) ¿En qué instantes se encuentra el cohete exactamente a $60$ m de altura? b) ¿Durante cuánto tiempo está por encima de los $60$ m? c) ¿Cuánto dura el vuelo completo del cohete?

Halla los valores de $k$ para los que la inecuación $x^2 + kx + 9 > 0$ se verifica para cualquier número real $x$. Pista: piensa en cuántas raíces reales debe tener el polinomio para que eso ocurra.

Resuelve la inecuación $x^4 - 13x^2 + 36 \leq 0$ utilizando el cambio de variable $z = x^2$. Expresa la solución como unión de intervalos.

Resuelve la inecuación $(x + 1)(x - 2)(x - 4) \geq 0$ construyendo una tabla de signos con las tres raíces.

Resuelve la inecuación $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ estudiando los signos del numerador y del denominador. Explica por qué $x = -2$ no podría formar parte de la solución aunque la desigualdad fuese no estricta.

El beneficio semanal, en euros, que obtiene un taller de bicicletas al reparar $x$ bicis es $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) ¿Para qué números de reparaciones semanales el taller tiene beneficios? b) ¿Para cuáles el beneficio supera los $600\ \text{€}$? c) ¿Cuántas reparaciones semanales maximizan el beneficio?

1. a) Resuelve por separado las dos inecuaciones del sistema $\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \leq 0 \\ x > 6 \end{cases}$. b) La figura muestra la parábola $y = x^2 - 6x + 5$ y la recta vertical $x = 6$: úsala para interpretar el resultado. ¿Tiene solución el sistema? ¿Por qué?

Se quieren usar $40$ m de valla para cercar un corral rectangular aprovechando una pared existente como uno de los lados largos, como se muestra en la figura.

1. a) Expresa el área del corral en función del ancho $x$. b) ¿Para qué valores de $x$ el área supera los $150\ \text{m}^2$? c) ¿Cuál es el área máxima que se puede conseguir y con qué ancho se alcanza?