Ejercicios: Permutaciones

Simplifica la siguiente expresión con factoriales sin usar calculadora: $\frac{12! \cdot 5!}{10! \cdot 7!}$.

En una competición de atletismo participan $8$ corredores en la final de los $100$ metros lisos. Si se asume que no pueden darse empates, ¿de cuántas formas distintas pueden llegar a la meta y clasificarse?

En una galería de arte contemporáneo se van a exponer en línea $6$ cuadros de un mismo pintor a lo largo de una pared. ¿De cuántas formas diferentes pueden ordenarse visualmente las obras?

Calcula cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en castellano, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra $BIOLOGIA$.

Un grupo de $5$ amigos acude a una pizzería a cenar y deciden sentarse alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse en los asientos?

Una contraseña de seguridad está formada por los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $7$, sin repetir ninguno de ellos. Si la contraseña debe empezar obligatoriamente por el dígito $7$, ¿cuántas contraseñas distintas se pueden configurar en el sistema?

En el mástil de un barco de vela se quieren izar $7$ banderas para transmitir una señal a la costa. Se dispone de $3$ banderas rojas, $2$ azules y $2$ amarillas, todas del mismo tamaño. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar combinando todas las banderas?

Un locutor de radio local debe programar exactamente $5$ canciones diferentes durante la próxima hora de emisión. ¿De cuántas formas puede establecer el orden en el que sonarán las canciones?

Cuatro amigos y tres amigas van al cine y compran entradas para siete butacas consecutivas en la misma fila. ¿De cuántas formas pueden sentarse si los cuatro chicos quieren estar juntos y las tres chicas también quieren estar juntas?

Una hormiga robótica se mueve por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$. Solo puede desplazarse hacia la derecha o hacia arriba siguiendo las líneas de la cuadrícula. Si para llegar de $A$ a $B$ debe dar exactamente $5$ pasos a la derecha y $4$ pasos hacia arriba, ¿cuántos caminos distintos puede recorrer en total?

En una fiesta de fin de curso, $6$ amigos se sientan alrededor de una mesa redonda. Dos de ellos, Adrián y Bruno, están enfadados y han pedido expresamente no sentarse juntos. ¿De cuántas formas distintas pueden distribuirse los $6$ comensales cumpliendo esta condición?

Determina el valor numérico de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación algebraica con factoriales: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 72$.

Un hospital debe organizar los turnos de guardia de una doctora durante una semana completa ($7$ días). Se le deben asignar exactamente $3$ turnos de mañana, $2$ turnos de tarde y $2$ días libres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede planificar su horario semanal?

Se quieren formar números de $6$ cifras utilizando exclusivamente los dígitos $3, 5$ y $8$. Si el dígito $3$ debe aparecer exactamente tres veces, el dígito $5$ dos veces y el dígito $8$ una vez, ¿cuántos de los números formados son pares?

En un estante de la biblioteca se van a colocar $4$ libros de Matemáticas, $3$ de Física y $2$ de Biología. ¿De cuántas formas se pueden ordenar si los libros de cada materia deben estar agrupados obligatoriamente entre sí?

¿Cuántos anagramas (tengan o no sentido) se pueden formar con todas las letras de la palabra $PARALELOGRAMO$ en los que las tres letras $A$ aparezcan de forma consecutiva formando un único bloque?

Un dron de reparto automatizado debe ir desde el almacén $A$ hasta el cliente $B$ en una ciudad con calles en cuadrícula, moviéndose solo al Norte (hacia arriba) y al Este (hacia la derecha). En el centro hay un parque rectangular que el dron tiene prohibido atravesar o sobrevolar. Calcula el número total de trayectorias válidas desde $A$ hasta $B$ evitando el parque.

Se quiere fabricar un collar ensamblando $8$ cuentas esféricas de diferentes piedras preciosas. Como el collar se puede abrochar, girar libremente sobre el cuello e incluso darle la vuelta (ponerlo del revés), ¿cuántos diseños distintos de collares se pueden crear?

En una urna hay $4$ bolas rojas, $3$ bolas verdes y $2$ bolas azules. Se extraen todas las bolas una a una y se alinean sobre una mesa. ¿De cuántas formas distintas pueden quedar alineadas si las dos bolas azules no pueden estar en posiciones adyacentes?

Encuentra el valor de $n$ resolviendo la siguiente ecuación algebraica que involucra permutaciones ordinarias: $P_{n} - 30 \cdot P_{n-2} = 0$.

Una profesora propone a sus estudiantes el siguiente reto de probabilidad y combinatoria: "Tengo $5$ cartas dirigidas a $5$ alumnos distintos y $5$ sobres con sus nombres impresos. Si introduzco las cartas en los sobres completamente al azar, una en cada sobre, ¿de cuántas formas posibles puede ocurrir que exactamente $4$ alumnos reciban la carta equivocada y solo $1$ reciba la correcta?".

¿Cuántos números de ocho cifras se pueden formar utilizando los dígitos $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ de manera que todos los dígitos impares aparezcan en el número antes que cualquier dígito par?

Con las letras de la palabra $MURCIELAGO$, ¿cuántas palabras diferentes de $10$ letras se pueden formar de modo que las vocales mantengan siempre su orden alfabético original (es decir, la $A$ antes que la $E$, la $E$ antes que la $I$, etc.), aunque no aparezcan necesariamente en posiciones consecutivas?

Un torneo de ajedrez se juega a un máximo de $10$ partidas. El jugador que alcance primero $6$ victorias gana el torneo (no hay empates posibles). Si el jugador $X$ termina ganando el torneo exactamente en la décima partida, ¿de cuántas formas distintas pudo haberse desarrollado la secuencia de victorias y derrotas a lo largo de las $10$ partidas?