Ejercicios: Números combinatorios

Calcula el valor numérico de los siguientes números combinatorios aplicando su fórmula de definición:

1. a) $\binom{9}{3}$
2. b) $\binom{15}{0}$
3. c) $\binom{8}{8}$
4. d) $\binom{12}{10}$

Utilizando la propiedad de simetría de los números combinatorios, determina el valor numérico de $x$ (sabiendo que es distinto de 5) que cumple la siguiente igualdad:

$\binom{17}{5} = \binom{17}{x}$

Halla el valor exacto de la siguiente suma sin necesidad de calcular cada número combinatorio de forma individual, aplicando las propiedades conocidas:

$\binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}$

Resuelve la siguiente ecuación, determinando el valor del número natural $x$:

$\binom{x}{2} = 28$

Desarrolla la expresión matemática $(2a + b)^4$ aplicando la fórmula del binomio de Newton.

Escribe los elementos que componen la sexta fila del triángulo de Pascal (o de Tartaglia), recordando que la primera fila corresponde a $n=0$, y utilízala para desarrollar el binomio $(x - 2)^5$.

Determina únicamente el coeficiente numérico que acompaña al término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x + 4)^5$.

Expresa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ como un único número combinatorio utilizando la relación de recurrencia (fórmula de Pascal) y, a continuación, calcula su valor numérico.

En un laboratorio de biotecnología se dispone de 12 cepas bacterianas diferentes. Para realizar un ensayo de resistencia, se debe seleccionar una muestra compuesta exactamente por 5 cepas. Expresa el número total de muestras posibles utilizando la notación de números combinatorios y calcula su valor. ¿Cuántas de estas muestras posibles incluyen una cepa específica que ya se sabe que es resistente a los antibióticos?

Determina todos los valores naturales de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación combinatoria:

$\binom{20}{2x} = \binom{20}{x+2}$

Calcula y simplifica al máximo el cuarto término del desarrollo del binomio $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenando los términos según las potencias decrecientes de $x$.

Simplifica la siguiente expresión algebraica expresando el resultado final como un polinomio dependiente de $n$:

$\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}}$

En un dispositivo de Galton utilizado para demostraciones de probabilidad, una bola cae a través de 6 niveles de clavos. En cada nivel, la bola choca contra un clavo y puede rebotar hacia la izquierda o hacia la derecha. Expresa mediante un número combinatorio la cantidad de caminos distintos que llevan al tercer compartimento desde la izquierda (considerando el compartimento situado más a la izquierda como el número cero) y calcula dicho valor.

Una pizzería ofrece una base estándar de queso y tomate a la que se le pueden añadir hasta 8 ingredientes extra diferentes. Un cliente puede elegir desde no añadir ningún ingrediente extra hasta añadirlos todos. Expresa el número total de combinaciones de pizzas diferentes que se pueden pedir como una suma de números combinatorios y demuestra numéricamente que este valor coincide con $2^8$.

Desarrolla completamente y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando el binomio de Newton:

$(x^2 - \frac{2}{x})^4$

Demuestra, utilizando la propiedad de recurrencia de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, que la siguiente igualdad es cierta sin necesidad de calcular el valor numérico de cada combinación:

$\binom{10}{4} + 2\binom{10}{5} + \binom{10}{6} = \binom{12}{6}$

Encuentra el término independiente (es decir, el término que no depende de la variable $x$) en el desarrollo del binomio $(2x^2 - \frac{1}{x})^9$.

Demuestra algebraicamente, partiendo de la definición factorial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, la validez de la ley de recurrencia del triángulo de Pascal:

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Resuelve la siguiente ecuación combinatoria, determinando el valor del número natural $x$:

$\binom{x+1}{2} + \binom{x}{2} = 36$

Calcula el valor exacto de la expresión $(\sqrt{5} + 2)^6 + (\sqrt{5} - 2)^6$. Aplica el desarrollo del binomio de Newton y observa cómo los términos que contienen raíces de índice impar se anulan entre sí.

Un robot de un almacén logístico se desplaza por una red de pasillos en forma de cuadrícula desde el punto de origen $A(0,0)$ hasta el punto de destino $B(6,4)$, moviéndose únicamente un paso hacia la derecha o un paso hacia arriba en cada iteración. Debido a tareas de mantenimiento, el robot no puede pasar por el nodo $C(3,2)$. Expresa el número de trayectorias válidas utilizando números combinatorios y calcula el resultado final.

En el desarrollo del binomio $(a + b)^n$, se sabe que los coeficientes numéricos del cuarto y quinto término son exactamente iguales. Determina el valor del exponente natural $n$.

Utiliza el desarrollo del binomio de Newton evaluado en la expresión $(1 - 1)^n$ para demostrar que la suma alternada de los elementos de cualquier fila del triángulo de Pascal (para $n > 0$) es siempre igual a cero:

$\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^n \binom{n}{n} = 0$

Una empresa de tecnología necesita formar un equipo de ciberseguridad de 5 miembros, seleccionados completamente al azar entre una plantilla de 8 programadores y 6 analistas de sistemas. Calcula la probabilidad de que el equipo resultante esté formado exactamente por 3 programadores y 2 analistas. Expresa tanto los casos favorables como los casos posibles mediante números combinatorios antes de dar la fracción irreducible resultante.