Ejercicios: Factorial

Calcular el valor exacto de la expresión $6! - 4!$.

Simplificar la siguiente fracción de factoriales sin utilizar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.

Expresar el producto numérico $12 \cdot 11 \cdot 10$ utilizando una división de factoriales.

Calcular el resultado del siguiente cociente: $\frac{7!}{5! \cdot 2!}$.

Expresar mediante un cociente de factoriales el producto algebraico $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$.

Simplificar la expresión algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicando el resultado en función de $n$.

Calcular mentalmente el valor de $\frac{100!}{99!}$.

Determinar el valor del número natural $x$ sabiendo que $x! = 120$.

Simplificar al máximo la expresión algebraica $\frac{n!}{(n-2)!}$, desarrollando el numerador hasta poder cancelar términos con el denominador.

Resolver la ecuación $\frac{(x+2)!}{(x+1)!} = 15$ indicando el valor de $x$.

En una carrera de $100$ metros lisos participan $8$ atletas. Expresa utilizando un factorial de cuántas formas distintas pueden llegar a la meta, suponiendo que no hay empates, y calcula su valor final.

Expresar como cociente de factoriales la expresión polinómica $(x+3)(x+2)(x+1)$, asumiendo que $x$ es un número natural.

Simplificar la expresión $\frac{(n+1)! - n!}{n!}$ sacando factor común en el numerador.

Un sistema de seguridad requiere un código que consta de $5$ letras distintas elegidas entre $A, B, C, D$ y $E$. Usa factoriales para determinar y calcular cuántos códigos diferentes se pueden crear.

Comprobar si la igualdad $4! + 3! = 7!$ es cierta o falsa, justificando la respuesta mediante el cálculo de los factoriales correspondientes.

Resolver la ecuación $\frac{x!}{(x-1)!} = x^2 - 12$, hallando el valor o los valores posibles para el número natural $x$.

Resolver la ecuación cuadrática resultante de la expresión $\frac{n!}{(n-2)!} = 42$, indicando el único valor válido para el número natural $n$.

Demostrar algebraicamente que $n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)!$ para cualquier número natural $n \geq 1$.

En una estantería se van a colocar $4$ libros de matemáticas y $3$ libros de física. Si los libros de la misma materia deben estar siempre juntos, expresa el número total de ordenaciones posibles utilizando el producto de varios factoriales y calcula su valor final.

Resolver la ecuación $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 5x = 11$, hallando los valores posibles para $x$ y descartando aquellos que no pertenezcan a los números naturales.

Simplificar al máximo la expresión algebraica $\frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$, expresando el resultado final como un polinomio en función de $n$.

Seis amigos van a cenar a un restaurante y se sientan alrededor de una mesa circular. Teniendo en cuenta que en una mesa circular las posiciones relativas son las que importan (permutación circular), expresa con factoriales el número de formas diferentes en que pueden sentarse y calcula el resultado.

Resolver la ecuación $\frac{(n+2)!}{n!} = 72$ para encontrar el valor del número natural $n$.

Demostrar la identidad $\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!}$ detallando los pasos algebraicos para todo número natural $n \geq k \geq 1$.