Exercicis: Angles orientats i circumferència goniomètrica

Un angle més gran de $360º$ dóna més d'una volta completa. Expressa cadascun d'aquests angles com un nombre de voltes completes més un angle menor de $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Els angles negatius es recorren en sentit horari. Expressa cadascun d'aquests angles com un angle positiu menor de $360º$ que tingui el mateix costat terminal:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Indica en quin quadrant es troba el costat terminal de cadascun d'aquests angles:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

En la circumferència goniomètrica, el sinus d'un angle és l'ordenada i el cosinus l'abscissa del punt on el costat terminal talla la circumferència, com es mostra a la figura.

A la vista de la figura, calcula raonadament el valor de:

• $\sin 90º$ i $\cos 90º$

• $\sin 180º$ i $\cos 180º$

• $\sin 270º$ i $\cos 270º$

• $\sin 360º$ i $\cos 360º$

Sense usar la calculadora, indica el signe (positiu o negatiu) de cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques, raonant a quin quadrant pertany cada angle:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

A la figura s'ha representat un angle $\alpha$ en la circumferència goniomètrica, amb les projeccions del seu punt $P$ sobre els eixos.

A la vista de la figura, indica el signe de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ i de $\tan \alpha$, justificant cada resposta a partir de les coordenades del punt $P$.

En Marcos ha de calcular les raons trigonomètriques de l'angle $\alpha = 120^\circ$. En el seu quadern escriu l'explicació següent: «Com que al costat terminal de $120^\circ$ li falten $30^\circ$ per arribar al semieix vertical positiu $Y$, el seu angle de referència és $30^\circ$. Per tant, $\sen 120^\circ = \sen 30^\circ = 0,5$ i $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$». Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en determinar l'angle de referència, explica per què la definició exigeix prendre sempre com a referència l'eix horitzontal $X$ i escriu els valors correctes de $\sen 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ i $\tg 120^\circ$.

Considera l'angle orientat $\alpha = 310^\circ$ a la circumferència goniomètrica.

1. a) Sense fer càlculs amb calculadora, estima de manera raonada en quin quadrant es troba el seu costat terminal i quins signes tindran la seva abscissa (cosinus), la seva ordenada (sinus) i la seva tangent.
2. b) El costat terminal de $310^\circ$ està a $50^\circ$ del semieix positiu $X$ ($360^\circ - 310^\circ$) i a $40^\circ$ del semieix negatiu $Y$ ($310^\circ - 270^\circ$). A partir d'aquesta posició relativa a la circumferència, estima quin dels dos valors absoluts ha de ser més gran: $|\sen 310^\circ|$ o $|\cos 310^\circ|$.
3. c) Comprova la teva estimació calculant el seu angle de referència agut respecte a l'eix $X$ i deduint quin catet del triangle rectangle associat té una longitud més gran.

A la figura s'ha representat l'angle de $135º$ en la circumferència goniomètrica, juntament amb el seu triangle de referència.

Sabent que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacte de $\sin 135º$ i de $\cos 135º$, atenent al quadrant en què està el punt $P$.

Determina en quin quadrant es troba cadascun dels angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ sabent que:

• $\sin \alpha < 0$ i $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ i $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ i $\tan \gamma < 0$

Indica també el signe de la raó trigonomètrica que falta en cada cas.

Una sínia gira en sentit antihorari. Una de les seves cabines parteix del punt més baix i, després del recorregut complet d'un cicle, ha girat un total de $750º$.

• Quantes voltes completes ha donat la cabina?

• Quin angle menor de $360º$ descriu la seva posició final respecte a la de partida?

• Si el gir hagués sigut de $1500º$, on acabaria la cabina?

Un veler navega amb rumb $220º$. En nàutica, el rumb es mesura en sentit horari a partir del nord; en matemàtiques, els angles es mesuren en sentit antihorari a partir de l'est (semieix $X$ positiu).

• Expressa el rumb del veler com un angle matemàtic $\alpha$ entre $0º$ i $360º$.

• Indica en quin quadrant navega el veler i el signe de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$.

Considera l'angle $\alpha = 215º$.

• Indica en quin quadrant es troba el seu costat terminal.

• Determina el signe de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ i $\tan \alpha$.

• Escriu $\alpha$ com a $180º$ més un angle agut, i també com un angle negatiu comprès entre $-360º$ i $0º$.

Indica si cadascuna d'aquestes afirmacions és vertadera o falsa, raonant la teva resposta:

• Existeix algun angle $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.

• Si $\sin \alpha > 0$, aleshores $\alpha$ pertany al primer quadrant.

• La tangent de $90º$ no existeix.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

El radar meteorològic d'AEMET situat a Múrcia gira en sentit antihorari emetent un feix d'escombratge. L'orientació es mesura com un angle goniomètric on l'Est correspon al semieix positiu $X$ ($0^\circ$) i el Nord al semieix positiu $Y$ ($90^\circ$). En un determinat moment del monitoratge, l'antena registra un gir acumulat d'$\alpha = -510^\circ$.

1. a) Redueix l'angle $\alpha$ a la primera volta expressant-lo com un nombre de voltes completes més un angle positiu $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Cap a quin quadrant geogràfic (Nord-est, Nord-oest, Sud-oest o Sud-est) està apuntant el feix del radar en aquest instant?
3. c) Si el radar localitza el nucli d'un núvol a una distància normalitzada de radi $1$, determina les coordenades cartesianes $(x, y)$ del punt sobre la circumferència goniomètrica, expressant-les de forma exacta mitjançant les raons trigonomètriques del seu angle agut de referència amb l'eix $X$.

A la circumferència goniomètrica (radi $1$, centre a l'origen), el costat terminal d'un angle $\alpha$ talla la circumferència en un punt $P(x, y)$ l'abscissa del qual és $x = -0,8$. A més, se sap que $\tg \alpha > 0$.

1. a) Determina raonadament en quin quadrant es troba l'angle $\alpha$ a partir dels signes de la seva abscissa i de la seva tangent.
2. b) Utilitza la relació fonamental a la circumferència goniomètrica ($x^2 + y^2 = 1$) per deduir el valor exacte de l'ordenada $y$ (és a dir, $\sen \alpha$) i calcula el valor de $\tg \alpha$.
3. c) Sabent que l'angle agut del primer quadrant el cosinus del qual val $0,8$ és aproximadament $36,87^\circ$, calcula:

1. El valor de l'angle positiu $\alpha$ que pertany a la primera volta ($[0^\circ, 360^\circ)$).

2. Un angle $\beta$ negatiu que tingui exactament el mateix costat terminal que $\alpha$ havent completat una volta sencera en sentit horari (comprès entre $-720^\circ$ i $-360^\circ$).

Un alumne ha escrit en el seu quadern la resolució següent:

«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»

Troba l'error que ha comès, explica per què és un error i calcula correctament el valor de $\cos 130º$ amb la calculadora, amb quatre xifres decimals.

A la figura s'han representat dos angles, $\alpha$ i $\beta$, de la circumferència goniomètrica els punts del costat terminal dels quals estan a la mateixa altura.

• Quina relació mantenen entre ells els angles $\alpha$ i $\beta$? Expressa-la amb una igualtat.

• Si $\sin \alpha = 0,42$ i $\alpha \approx 25º$, troba un altre angle de $[0º, 360º)$ que tingui el mateix sinus.

• Quina relació mantenen dos angles de $[0º, 360º)$ que tenen el mateix cosinus? Raona la teva resposta amb la circumferència goniomètrica.

El punt $P$ de la figura pertany a la circumferència goniomètrica, està en el tercer quadrant i verifica $\cos \alpha = -0,8$.

• Quin és el signe de $\sin \alpha$? I el de $\tan \alpha$?

• Calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ utilitzant la identitat fonamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calcula $\tan \alpha$.

• Sigui $\beta = \alpha - 180º$. Indica en quin quadrant està $\beta$ i calcula les seves tres raons trigonomètriques.

A partir de la definició $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

• Determina tots els angles $\alpha$ de $[0º, 360º)$ per als quals no existeix $\tan \alpha$, justificant la resposta.

• Determina tots els angles $\alpha$ de $[0º, 360º)$ per als quals $\tan \alpha = 0$.

• Escriu, usant un nombre enter $k$ qualsevol, l'expressió general de tots els angles per als quals la tangent no existeix.

A classe es planteja trobar tots els angles $\alpha$ de la primera volta ($0^\circ \le \alpha < 360^\circ$) que compleixen la condició $\sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Dos estudiants proposen mètodes diferents per resoldre-ho:

• Sofía (Mètode goniomètric): Diu que, com que $\cos \alpha = x$ i $\sen \alpha = y$ a la circumferència goniomètrica, la condició equival a $y^2 = x^2$, és a dir, $|y| = |x|$. Per tant, els punts buscats són les interseccions de la circumferència goniomètrica amb les bisectrius dels quatre quadrants ($y = x$ i $y = -x$).

• Mateo (Mètode algebraic): Proposa dividir tots dos membres entre $\cos^2 \alpha$ per obtenir $\tg^2 \alpha = 1$, la qual cosa dóna $\tg \alpha = 1$ o $\tg \alpha = -1$.

1. a) Aplica el mètode de la Sofía i identifica els quatre angles solució justificant geomètricament la seva simetria respecte als eixos i el seu angle de referència en el primer quadrant.
2. b) Analitza el mètode d'en Mateo: quina comprovació matemàtica prèvia és obligatòria abans de dividir tota l'expressió entre $\cos^2 \alpha$, i per què en aquest cas particular estem segurs de no perdre cap solució?
3. c) Compara tots dos procediments i justifica quin dels dos aporta més comprensió geomètrica sobre el comportament dels signes de les raons trigonomètriques en els quatre quadrants.

El braç d'un robot industrial de muntatge té una longitud normalitzada d'$1$ metre amb base fixa a l'origen $(0,0)$. L'extrem del braç s'orienta mitjançant un angle $\theta$ mesurat en sentit antihorari des del semieix positiu $X$, situant-se en un punt $P(x, y)$ de la circumferència goniomètrica. Per fer una soldadura a l'interior d'una peça, l'extrem s'ha de col·locar al tercer quadrant de manera que la seva distància horitzontal a l'eix vertical sigui exactament el doble que la seva distància vertical a l'eix horitzontal ($|x| = 2 \cdot |y|$).

1. a) Planteja la condició algebraica anterior juntament amb l'equació de la circumferència goniomètrica ($x^2 + y^2 = 1$) i obtén els valors exactes de $\cos \theta$, $\sen \theta$ i $\tg \theta$.
2. b) Sabent que l'angle agut de referència amb l'eix horitzontal compleix $\tg \theta_{\text{ref}} = 0,5$ (el valor aproximat del qual és $26,57^\circ$), determina la mesura de l'angle positiu $\theta \in [0^\circ, 360^\circ)$ que s'ha de programar al robot.
3. c) A causa d'un error de transmissió en els servomotors, l'ordinador de control registra un gir total acumulat de $-1413,43^\circ$. Demostra mitjançant la reducció a la primera volta si el braç robòtic ha quedat orientat exactament en la posició de treball requerida o en una de diferent.