Geometría y Trigonometría · Trigonometría de ángulos cualesquiera
Aplicaciones de la trigonometría
Toda la trigonometría de ángulos orientados que has visto tiene una aplicación muy concreta: la Tierra es (casi) una esfera, y su forma se describe con dos ángulos, la latitud y la longitud. Vamos a usar el coseno para calcular lo grande que es, en realidad, un paralelo —una de esas líneas horizontales que ves en los mapas— y la distancia entre dos ciudades que están en el mismo.
El radio de un paralelo: por qué aparece el coseno
Un paralelo es una circunferencia formada por todos los puntos de la Tierra que están a la misma latitud (el ángulo respecto al plano del ecuador). El ecuador, a latitud $0º$, tiene el mismo radio que la Tierra entera; cualquier otro paralelo es más pequeño, porque "se estrecha" al acercarse a los polos.
Fíjate en el triángulo rectángulo que forman el centro de la Tierra, el centro del paralelo y un punto del paralelo: la hipotenusa es $R$ (el radio terrestre), y el cateto adyacente al ángulo de latitud $\alpha$ es, precisamente, $r$ (el radio del paralelo).
Practica★★☆Sin empezar
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:…
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:
a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ y justifícala a partir del triángulo rectángulo de la figura).
b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.
Una vez conocido el radio $r$ de un paralelo, calcular su longitud (su perímetro) es la misma fórmula de siempre para una circunferencia: $2\pi r$. La diferencia con el ecuador es que aquí el radio ya no es $R$, sino el $r$ reducido por el coseno de la latitud.
¡A practicar! 1 ejercicios de nivel medio en este apartado
Si dos ciudades están en el mismo paralelo pero a distinta longitud (el ángulo este-oeste), la distancia entre ellas siguiendo el paralelo es un arco de esa circunferencia más pequeña, no del globo entero. Hace falta primero el radio del paralelo, y después la fórmula habitual de longitud de arco con el ángulo que las separa.
Practica★★★Sin empezar
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una…
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.
Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:
Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \cdot \cos \alpha$; para $45^\circ$ utiliza el valor exacto $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).
Determina la distancia en kilómetros que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.