Exercicis: Aplicacions de la trigonometria

Per a un treball escolar de Geografia i Matemàtiques, en Sergio vol calcular la distància que recorre un vaixell d'investigació oceanogràfica que navega pel paral·lel $60^\circ\text{ N}$ entre dues boies meteorològiques situades a una longitud de $10^\circ\text{ O}$ i $40^\circ\text{ O}$. En Sergio fa el procediment següent a la seva llibreta:

$$\Delta = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$ $$\text{Distància} = 6371\cdot\frac{\pi}{6} \approx 3335,82\text{ km}$$

1. a) Explica raonadament quin és l'error conceptual que ha comès en Sergio i sobre quina circumferència de la Terra seria vàlid el seu resultat numèric.
2. b) Corregeix la seva resolució indicant la fórmula completa que hauria d'haver fet servir i calcula la distància real recorreguda pel vaixell (pren $R = 6371\text{ km}$ i utilitza el valor exacte $\cos 60^\circ = 0,5$).

L'equador terrestre té un perímetre aproximat de $40\,030\text{ km}$ ($2\pi R$, amb $R \approx 6371\text{ km}$). Un equip de cartografia necessita identificar en quin paral·lel de l'hemisferi nord el radi de la circumferència del paral·lel mesura exactament la meitat del radi de la Terra ($r = \frac{R}{2}$).

1. a) Planteja una equació trigonomètrica que relacioni la latitud $\alpha$ amb aquesta condició geomètrica a partir de la fórmula $r = R\cdot\cos\alpha$, simplificant el radi $R$.
2. b) Sense recórrer a la calculadora, dedueix raonadament a quina latitud exacta $\alpha$ passa això, recordant els valors de les raons trigonomètriques dels angles notables ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$).
3. c) Quina relació hi ha entre la longitud total d'aquest paral·lel i el perímetre de l'equador? Justifica la teva resposta sense necessitat de calcular els quilòmetres exactes.

Per a un projecte escolar, necessites calcular quant mesura de llarg el paral·lel de latitud $40^\circ$ N. Sabent que el radi terrestre és de $R \approx 6\,371$ km, calcula:

1. a) El radi del cercle que forma aquest paral·lel (utilitza l'expressió $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ i justifica-la a partir del triangle rectangle de la figura).
2. b) La longitud total (perímetre) d'aquest paral·lel.

La ciutat de Madrid se situa aproximadament a una latitud de $\alpha = 40^\circ\text{ N}$. A causa de la rotació terrestre, qualsevol persona que es trobi a Madrid descriu una circumferència completa corresponent al seu paral·lel cada $24\text{ hores}$. Es considera el radi mitjà de la Terra com a $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Abans d'operar amb la calculadora: sabent que a l'equador (on el perímetre terrestre ronda els $40\,000\text{ km}$) la velocitat lineal és d'uns $1670\text{ km/h}$, i recordant que $\cos 45^\circ \approx 0,71$, estima de manera qualitativa si la velocitat lineal de rotació a Madrid serà superior o inferior a $1150\text{ km/h}$. Explica el raonament de la teva estimació.
2. b) Calcula amb precisió el radi $r$ del paral·lel de Madrid, la longitud d'aquest paral·lel i la velocitat lineal real en $\text{km/h}$ amb què es desplaça la ciutat per l'espai (utilitza $\cos 40^\circ \approx 0,766$).
3. c) Comprova si el valor obtingut confirma la teva estimació inicial i interpreta què passaria amb aquesta velocitat lineal si ens desplacéssim cap al pol Nord ($90^\circ\text{ N}$).

Dues ciutats, A i B, es troben en el mateix paral·lel a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciutat A té una longitud de $20^\circ \text{ E}$ i la ciutat B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.

Sabent que el radi de la Terra és d'aproximadament $6371 \text{ km}$:

1. Calcula el radi del paral·lel $45^\circ \text{ N}$ (Recorda que el radi d'un paral·lel a una latitud $\alpha$ es calcula com a $r = R \cdot \cos \alpha$; per a $45^\circ$ utilitza el valor exacte $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

2. Determina la distància en quilòmetres que separa totes dues ciutats seguint l'arc del paral·lel.

A la costa de la Comunitat Valenciana, Castelló de la Plana se situa sobre el meridià de Greenwich ($0^\circ$) i a una latitud de $40^\circ\text{ N}$. A les Illes Balears, l'extrem oest de Menorca es troba pràcticament sobre aquest mateix paral·lel ($40^\circ\text{ N}$) i a una longitud de $3,8^\circ\text{ E}$. Paral·lelament, una patrulla marítima a l'arxipèlag canari fa una vigilància entre dos punts que també difereixen en $3,8^\circ$ de longitud, però situats sobre el paral·lel $28^\circ\text{ N}$. Considera el radi de la Terra $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Modela la fórmula general que permet calcular la distància sobre un paral·lel en quilòmetres a partir del radi terrestre $R$, la latitud $\alpha$ i la diferència de longitud en graus $\Delta^\circ$.
2. b) Calcula la distància en quilòmetres del trajecte Castelló–Menorca navegant sobre el paral·lel $40^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 40^\circ \approx 0,7660$).
3. c) Calcula la distància recorreguda per la patrullera a Canàries navegant sobre el paral·lel $28^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 28^\circ \approx 0,8829$).
4. d) Malgrat que totes dues rutes abasten el mateix angle de longitud ($3,8^\circ$), les distàncies sobre el mar no són iguals. Justifica matemàticament aquesta discrepància a partir del comportament de la funció $\cos\alpha$ entre $0^\circ$ i $90^\circ$ i analitza quina implicació té això en la navegació marítima i aèria.

Dues bases d'investigació polar estan emplaçades sobre el paral·lel $75^\circ\text{ N}$ en punts diametralment oposats: la base Alfa a longitud $0^\circ$ (meridià de Greenwich) i la base Beta a longitud $180^\circ$. Per traslladar subministraments entre totes dues, un equip d'aviació ha de triar entre dues rutes de vol possibles sobre la superfície terrestre (pren $R = 6371\text{ km}$):

• Ruta 1 (Ruta pel paral·lel): Volar seguint la circumferència del paral·lel $75^\circ\text{ N}$ des d'Alfa fins a Beta (mig paral·lel).

• Ruta 2 (Ruta polar): Volar cap al nord pel meridià de Greenwich fins al pol Nord ($90^\circ\text{ N}$) i continuar baixant pel meridià $180^\circ$ fins a arribar a Beta.

1. a) Modela matemàticament la longitud de la Ruta 1 fent servir el radi del paral·lel $r = R\cdot\cos(75^\circ)$ i calcula la seva distància en quilòmetres (utilitza $\cos 75^\circ \approx 0,2588$).
2. b) Modela matemàticament la longitud de la Ruta 2 tenint en compte que els meridians formen circumferències màximes de radi $R$. Dedueix quants graus d'arc de meridià es recorren en total i calcula la distància en quilòmetres.
3. c) Compara tots dos resultats: quina és la ruta més curta i quants quilòmetres s'estalvien? Justifica a partir d'aquest càlcul per què moltes rutes comercials intercontinentals de l'hemisferi nord volen a prop del pol en lloc de mantenir una latitud fixa.

Repte del tema. Com afecta el vent al vol d'un dron de salvament? Analitzaràs les condicions del teu entorn mitjançant dades oficials d'AEMET.

Fase 1. Entra al web d'AEMET i recopila el rumb $r$ (mesurat des del nord en sentit horari) i la velocitat del vent ($v$ en km/h) de la teva estació més propera en tres moments del dia. Converteix cada rumb en l'angle orientat $\alpha = 90^\circ - r$ (suma-hi $360^\circ$ si surt negatiu), de manera que $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ es mesuri des de l'est en sentit antihorari.

Fase 2. A GeoGebra o a la teva llibreta, situa cada angle a la circumferència goniomètrica. Redueix cada angle al primer quadrant, dedueix els signes de $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ segons el quadrant i comprova numèricament la identitat fonamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ amb dos decimals (ex. $0,99 \approx 1$).

Fase 3. Descompon trigonomètricament la velocitat del vent en els seus eixos est-oest ($v_x = v \cdot \cos\alpha$) i nord-sud ($v_y = v \cdot \sin\alpha$).

Fase 4. Lliura un informe breu (una cara) amb la taula de dades, les representacions goniomètriques i una conclusió raonada sobre quina de les tres hores ofereix menys deriva lateral per a una trajectòria fixa nord-sud.

Es valorarà:

• Rigor en la reducció al primer quadrant i justificació geomètrica dels signes.

• Aplicació correcta de la identitat fonamental i de les raons trigonomètriques amb dades reals.

• Claredat de l'informe, precisió en els càlculs i pertinença de la recomanació final.