Exercicis: Triangles rectangles

En una teulada de dos aiguavessos que forma un angle recte al seu vèrtex superior, l'altura traçada des d'aquest vèrtex divideix la base (hipotenusa) en dos segments de $2\text{ m}$ i $8\text{ m}$. Aplica el teorema de l'altura per calcular l'altura màxima de la teulada.

Una rampa d'skate té un perfil de triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. La base horitzontal (hipotenusa) mesura $10\text{ m}$ i la projecció del tram de pujada sobre la base és de $3,6\text{ m}$. Utilitza el teorema del catet per calcular la longitud del tram de pujada.

Un fuster talla dues cunyes de fusta en forma de triangle rectangle. La primera té catets de $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. La segona té una hipotenusa de $50\text{ cm}$ i un catet de $30\text{ cm}$. Comprova matemàticament si totes dues cunyes són semblants.

Les dues cordes principals que subjecten el màstil central d'un envelat des de la part superior fins a terra formen un angle recte entre si. El màstil fa $4\text{ m}$ d'alçària i una de les cordes s'ancora a $3,2\text{ m}$ de la base del màstil. A quina distància de la base s'ancora l'altra corda?

En una estructura metàl·lica amb forma de triangle rectangle, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divideix la biga inferior (hipotenusa) en dues parts. Si un costat inclinat (catet) mesura $5\text{ m}$ i la biga inferior total mesura $10\text{ m}$, quant mesura la projecció d'aquest costat sobre la biga inferior?

Dos senyals de trànsit amb forma de triangle rectangle són semblants. El catet menor del senyal petit mesura $30\text{ cm}$ i la seva àrea és de $600\text{ cm}^2$. Si el catet menor del senyal gran mesura $60\text{ cm}$, quina és l'àrea del senyal gran?

En una classe de dibuix tècnic, un alumne traça un triangle rectangle amb una hipotenusa de $13\text{ cm}$ i catets de $5\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. Després, traça l'altura relativa a la hipotenusa. Utilitza el teorema del catet per calcular quant mesuren les dues projeccions dels catets sobre la hipotenusa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En Lucas està resolent un problema sobre una rampa amb secció de triangle rectangle recolzada sobre la seva hipotenusa al terra d'un magatzem. L'enunciat indica que la hipotenusa total mesura $25\text{ m}$ i que la projecció d'un dels catets sobre aquesta hipotenusa mesura $9\text{ m}$. Per calcular l'altura $h$ de la rampa respecte al terra, en Lucas aplica directament el teorema de l'altura i escriu al seu examen:

«$h^2 = m \cdot n \implies h^2 = 25 \cdot 9 = 225 \implies h = \sqrt{225} = 15\text{ m}$».

Explica amb claredat quin error conceptual ha comès en Lucas en interpretar les dades de l'enunciat, escriu la relació correcta que hauria d'haver aplicat i calcula la vertadera altura $h$ de la rampa.

Al pati del teu institut vols mesurar l'altura de la cistella de bàsquet fent servir el mètode del mirall (basat en el fet que l'angle d'incidència i el de reflexió de la llum són idèntics, generant triangles rectangles semblants). Col·loques un mirall pla horitzontal a terra a $2,25\text{ m}$ de la base del pal de la cistella. Camines cap enrere en línia recta i et situes a $1,20\text{ m}$ del mirall, punt en el qual veus reflectit amb precisió el cèrcol. Els teus ulls es troben a $1,60\text{ m}$ de terra.

1. a) Abans de realitzar cap càlcul algebraic, observa la relació entre la distància del mirall a la cistella ($2,25\text{ m}$) i la distància del mirall a tu ($1,20\text{ m}$). Estima si l'altura de la cistella serà més gran, més petita o igual al doble de la teva altura de visió ($3,20\text{ m}$), justificant la teva estimació intuïtiva.
2. b) Planteja la proporció formal de semblança entre els dos triangles rectangles, calcula el valor exacte de l'altura de la cistella i valora si el resultat obtingut confirma la teva estimació prèvia i si és coherent amb les mesures reals d'una cistella de bàsquet reglamentària.

La façana d'un edifici modern té un finestral en forma de triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. L'altura del finestral respecte a la base és de $4,8\text{ m}$ i la projecció del costat menor sobre la base és de $3,6\text{ m}$. Calcula la longitud dels dos catets i de la hipotenusa.

Per mesurar l'altura d'un aerogenerador, una enginyera col·loca un mirall pla a terra a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella recula $1,5\text{ m}$ des del mirall fins que veu el punt més alt de l'aerogenerador reflectit exactament al centre del mirall. Si els ulls de l'enginyera estan a $1,6\text{ m}$ de terra, calcula l'altura de l'aerogenerador.

Un terreny agrícola té forma de triangle rectangle. La projecció d'un dels catets sobre la hipotenusa és $4\text{ dam}$ més gran que la projecció de l'altre catet. Si l'altura relativa a la hipotenusa mesura $4,8\text{ dam}$, planteja una equació de segon grau i calcula la longitud total de la hipotenusa.

En una taula de billar, una bola ha de picar la banda i rebotar cap a un forat, formant dos triangles rectangles semblants. La bola està a $20\text{ cm}$ de la banda i el forat a $60\text{ cm}$ de la mateixa banda. Si la distància horitzontal paral·lela a la banda entre la bola i el forat és de $100\text{ cm}$, a quina distància horitzontal des de la posició inicial de la bola s'ha de produir l'impacte a la banda?

En una peça de joieria, s'inscriu un quadrat de costat $x$ dins d'un triangle rectangle de catets $6\text{ mm}$ i $8\text{ mm}$, de manera que el vèrtex de l'angle recte del triangle coincideix amb un vèrtex del quadrat i el vèrtex oposat del quadrat descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilitzant la semblança de triangles.

El disseny d'una vela de windsurf té forma de triangle rectangle. Es sap que la vora inferior (hipotenusa) mesura $5\text{ m}$ i que la vora de fuga (un dels catets) mesura $1,2\text{ m}$ més que la seva projecció sobre la hipotenusa. Determina les dues possibles longituds que pot tenir la vora de fuga utilitzant el teorema del catet.

En un museu, un quadre rectangular està emmarcat per un triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa, de manera que l'altura sobre la hipotenusa coincideix amb un dels costats del quadre. Si les projeccions dels catets sobre la base mesuren $16\text{ cm}$ i $9\text{ cm}$, i el quadre ocupa exactament el rectangle format per l'altura i la projecció menor, quina és l'àrea del quadre?

Un taller de fusteria necessita dissenyar un cartabó de fusta amb forma de triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. Les especificacions de fabricació imposen dues condicions: l'altura relativa a la hipotenusa ha de mesurar exactament $12\text{ cm}$ i la projecció del catet major sobre la hipotenusa ha de mesurar $7\text{ cm}$ més que la projecció del catet menor.

1. a) Planteja una equació quadràtica a partir del teorema de l'altura ($h^2 = m \cdot n$) que permeti deduir el valor de cadascuna de les dues projeccions sobre la hipotenusa.
2. b) Resol l'equació i obtén la longitud total de la hipotenusa.
3. c) Aplica el teorema del catet per calcular la longitud exacta de tots dos catets i comprova, mitjançant el teorema de Pitàgores global, que el triangle obtingut és efectivament rectangle.

En un paratge del Parc Nacional d'Ordesa i Mont Perdut (Osca), un grup d'agents forestals necessita estimar l'amplada d'un barranc inaccessible pel qual discorre un riu torrencial. A la riba oposada hi ha una balisa vertical $R$ fixada a la roca. Per aplicar el mètode de la fita des de la seva riba accessible, fan les següents marques en línia recta al llarg de la vora:

• Claven una fita $A$ just al davant de la balisa $R$, de manera que la visual $RA$ sigui perpendicular a la riba.

• Caminen $15\text{ m}$ per la riba i claven una fita $B$.

• Continuen caminant $5\text{ m}$ més en la mateixa direcció i marquen el punt $C$.

• Des de $C$, es desplacen terra endins en perpendicular a la riba fins a trobar un punt $D$ des del qual la fita $B$ i la balisa $R$ quedin perfectament alineats. Mesuren la distància recorreguda: $CD = 8\text{ m}$.

1. a) Demostra formalment quin criteri garanteix que els triangles rectangles $\triangle RAB$ i $\triangle DCB$ són semblants.
2. b) Tradueix la situació a una proporció geomètrica i calcula l'amplada del barranc ($RA$).
3. c) Si per falta d'espai a la riba haguessin col·locat la fita $B$ a $10\text{ m}$ d'$A$ i uns altres $10\text{ m}$ de $C$, quants metres s'haurien hagut d'endinsar des de $C$ per alinear la visual? Explica quin avantatge tècnic o de precisió aporta triar distàncies diferents en lloc d'iguals.

En un estudi d'estàtica, dos pals verticals d'altures $a = 120\text{ cm}$ i $b = 80\text{ cm}$ estan separats una distància $d$. Des de la base de cada pal es tira un cable tens fins al capdamunt de l'altre pal. Els cables es creuen a una altura $h$. Demostra mitjançant la semblança de triangles que l'altura $h$ a la qual es creuen no depèn de la distància $d$ i calcula el seu valor.

Una fulla de paper rectangular de $8\text{ cm}$ d'amplada i $15\text{ cm}$ de llargada es plega de manera que dos vèrtexs oposats coincideixen. El plec format és una línia recta. Calcula la longitud d'aquest plec basant-te en la semblança de triangles rectangles que es formen.

Un pont atirantat té un pilar principal que forma un angle recte amb els dos tirants més llargs. La longitud total del tauler entre els ancoratges d'aquests tirants (hipotenusa) és de $125\text{ m}$. Si un dels tirants mesura $25\text{ m}$ més que l'altre, determina l'altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).

Un dissenyador industrial crea una peça plana en forma de triangle rectangle els catets del qual mesuren $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. Per reforçar la peça, col·loca una vareta recta perpendicular a la hipotenusa que passa pel vèrtex de l'angle recte (és a dir, l'altura). A la vegada, des del peu d'aquesta altura traça una altra vareta perpendicular al catet major. Quant mesura aquesta última vareta?

Un topògraf vol calcular l'amplada d'un riu. Per fer-ho, es situa en una riba i observa un arbre a la riba oposada. Camina $30\text{ m}$ al llarg de la riba (perpendicularment a la visual inicial) i col·loca un jaló. Després camina uns altres $6\text{ m}$ en la mateixa direcció, gira $90^\circ$ allunyant-se del riu i camina $4\text{ m}$ fins que veu el jaló alineat amb l'arbre. Quina és l'amplada del riu?

Demostra que en qualsevol triangle rectangle, la inversa del quadrat de l'altura sobre la hipotenusa és igual a la suma de les inverses dels quadrats dels catets ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Posteriorment, verifica aquesta relació calculant l'altura de totes dues formes en un triangle de catets $10\text{ cm}$ i $24\text{ cm}$.

Una piràmide recta de base quadrada es talla per un pla paral·lel a la base a un terç de la seva altura (mesurant des del vèrtex). Si l'àrea de la secció transversal obtinguda és de $15\text{ cm}^2$, quin és el volum de la piràmide original si la seva altura total és de $18\text{ cm}$?

En un disseny arquitectònic, el perfil d'una teulada és un triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. L'altura traçada des del vèrtex de l'angle recte divideix la hipotenusa en dos segments que estan en proporció $9:16$. Si l'altura mesura $6\text{ m}$, calcula el perímetre total del triangle que forma la teulada.

Per calcular l'altura relativa a la hipotenusa ($h$) d'un terreny triangular rectangle amb hipotenusa $a = 50\text{ m}$ i catet $b = 30\text{ m}$, dos topògrafs proposen mètodes diferents sense emprar raons trigonomètriques:

• Mètode A (Marta): Primer aplica el teorema de Pitàgores per calcular l'altre catet $c$. A continuació, iguala dues expressions de l'àrea del triangle (àrea $= \frac{a \cdot h}{2}$ i àrea $= \frac{b \cdot c}{2}$) per aïllar directament $h = \frac{b \cdot c}{a}$.

• Mètode B (Sergio): Aplica primer el teorema del catet ($b^2 = n \cdot a$) per trobar la projecció $n$. Després calcula l'altra projecció $m = a - n$ i, finalment, aplica el teorema de l'altura ($h^2 = m \cdot n$) per aïllar $h$.

1. a) Aplica tots dos mètodes detallant els passos numèrics i verifica que tots dos condueixen exactament a la mateixa altura.
2. b) Analitza els avantatges i inconvenients de cada mètode: compara el nombre d'operacions aritmètiques, la necessitat de calcular arrels quadrades i el risc d'arrossegar errors si les dades fossin decimals no exactes. Quin dels dos mètodes recomanaries per eficiència operativa? Justifica la teva elecció.
3. c) Demostra que la fórmula de la Marta ($h = \frac{b \cdot c}{a}$) no és una casualitat numèrica, sinó una conseqüència teòrica necessària de les relacions de semblança $b^2 = n \cdot a$, $c^2 = m \cdot a$ i $h^2 = m \cdot n$, combinant-les algebraicament.

En un taller de tall per làser s'ha de perforar una obertura quadrada a l'interior d'una xapa amb forma de triangle rectangle els catets de la qual mesuren $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$. L'equip de disseny estudia dues configuracions possibles per col·locar el quadrat:

• Configuració 1: El quadrat es recolza en el vèrtex de l'angle recte del triangle, de manera que dos dels seus costats descansen sobre els catets i el vèrtex oposat se situa sobre la hipotenusa.

• Configuració 2: Un costat sencer del quadrat descansa recolzat sobre la hipotenusa, i els seus altres dos vèrtexs superiors toquen cadascun un catet diferent.

1. a) A la Configuració 1, identifica els triangles rectangles semblants que queden delimitats pel quadrat dins del triangle principal i calcula la longitud exacta del costat d'aquest quadrat ($x_1$).
2. b) A la Configuració 2, calcula primer l'altura sobre la hipotenusa del triangle original. Després, mitjançant la semblança entre el triangle petit superior que corona el quadrat i el triangle original, planteja l'equació corresponent i calcula la longitud exacta del costat del quadrat ($x_2$).
3. c) Justifica matemàticament quina de les dues configuracions permet obtenir un orifici quadrat de més superfície i determina la diferència percentual d'àrea entre totes dues.