Exercicis: Logaritmes

Calcula el valor dels logaritmes següents aplicant directament la definició:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Troba el valor de la incògnita $x$ en cada cas utilitzant la definició de logaritme:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

Sabent que $\log 2 \approx 0,301$ i $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numèric aproximat de $\log 6$ i $\log 1,5$ utilitzant les propietats dels logaritmes.

Redueix a un sol logaritme la següent expressió matemàtica i calcula el seu valor numèric:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Calcula el valor de $x$ en l'equació exponencial $3^x = 45$. Expressa el resultat final arrodonit a les centèsimes (pots fer servir la calculadora per al pas final).

Aplica les propietats dels logaritmes a l'inrevés per expressar la següent combinació com un únic logaritme:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

El pH d'una dissolució química es defineix mitjançant la fórmula $pH = -\log [H^+]$, on $[H^+]$ representa la concentració d'ions d'hidrogen mesurada en mol/L. Si una mostra de suc de llimona té una concentració d'ions d'hidrogen de $10^{-3}$ mol/L, quin és el valor del seu pH?

Utilitza la fórmula del canvi de base per calcular el valor de $\log_5 120$ emprant únicament la tecla del logaritme decimal ($\log$) o neperià ($\ln$) de la teva calculadora. Arrodona el resultat a tres xifres decimals.

Sense utilitzar la calculadora en el primer pas, acota el valor de $\log_3 50$ entre dos nombres enters consecutius justificant la teva resposta a partir de les potències de la base $3$. A continuació, utilitza la fórmula del canvi de base i la calculadora per obtenir el seu valor aproximat arrodonit a dues xifres decimals. Per acabar, comprova si el resultat numèric és coherent amb la teva estimació inicial i raona si aquest valor es troba més a prop de l'extrem inferior o del superior de l'interval que havies deduït.

La Lucía va intentar simplificar l'expressió $\log(2x + 8)$ al seu examen i va escriure els passos següents:

1. a) Assenyala l'error conceptual comès per la Lucía i explica detalladament per què el seu primer pas és matemàticament fals basant-te en les propietats dels logaritmes.
2. b) Demostra que la igualtat és incorrecta substituint $x = 1$ i calculant el valor de l'expressió original i el valor obtingut per la Lucía.
3. c) Si volguéssim transformar $\log(2x + 8)$ de manera vàlida perquè aparegui una suma de logaritmes, com hauríem de manipular prèviament l'argument mitjançant factorització?

Resol l'equació logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicant la definició de logaritme per aïllar la incògnita $x$.

Desenvolupa la següent expressió logarítmica aplicant totes les propietats possibles, de manera que quedi expressada en funció de $\log x$, $\log y$ i $\log z$:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Agrupa la següent expressió algebraica en un únic logaritme, aplicant les propietats corresponents:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Un capital de $5000$ € es diposita en un banc a un interès compost del $3,5\,\%$ anual. Quants anys complets han de transcorrer perquè el capital acumulat superi els $7000$ €?

Recorda que la fórmula del capital final és $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

Una població de bacteris es duplica cada hora que passa. Si inicialment hi ha $1500$ bacteris, la quantitat de bacteris al cap de $t$ hores ve donada per la funció $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. Quant de temps exacte ha de passar perquè la població assoleixi la xifra de $100000$ bacteris?

La magnitud d'un terratrèmol en l'escala de Richter es calcula mitjançant la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, on $A$ és l'amplitud màxima de les ones sísmiques i $A_0$ és una amplitud de referència estàndard. Si un terratrèmol concret registra una amplitud $1000$ vegades major que $A_0$, quina és la seva magnitud en l'escala de Richter? A més, determina quantes vegades major és l'amplitud d'un terratrèmol de magnitud $6$ respecte a un de magnitud $4$.

Sabent exclusivament que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximat de $\log 25$ i de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sense introduir l'operació directa a la calculadora, recolzant-te només en les propietats dels logaritmes.

Un vehicle nou té un cost inicial de $24000$ €. A causa del desgast del mercat, cada any el seu valor es deprecia un $12\,\%$. La funció que descriu el seu valor residual al cap de $t$ anys és $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. Quants anys han de passar perquè el valor del cotxe es redueixi exactament a la meitat del seu preu original?

La gràfica d'una funció logarítmica de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$ passa per l'origen de coordenades $(0,0)$ i pel punt $(6, 1)$.

1. a) Determina de manera raonada els valors exactes dels paràmetres $a$ i $b$.
2. b) A partir dels valors trobats, indica el domini de definició de la funció i l'equació de la seva asímptota vertical.
3. c) Planteja i resol l'equació necessària per calcular el valor de $x$ que compleix $f(x) = 3$.

La normativa de protecció contra la contaminació acústica d'un municipi espanyol fixa en $30\text{ dB}$ el límit màxim permès a l'interior d'un dormitori durant el període nocturn. La relació entre el nivell de pressió sonora $L$ (en decibels, $\text{dB}$) i la intensitat física del so $I$ (en $\text{W/m}^2$) ve donada per:

on $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ és el llindar d'audició humà.

1. a) Calcula la intensitat física $I$ que correspon exactament al límit legal de $30\text{ dB}$.
2. b) Durant unes obres d'urgència al carrer es mesuren al dormitori $50\text{ dB}$. Un veí afirma que el so és «menys del doble d'intens» perquè $50$ no arriba a ser el doble de $30$. Rebat matemàticament la seva afirmació calculant quantes vegades és més intensa l'ona sonora de les obres en comparació amb el límit legal de l'ordenança.

Resol l'equació exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ prenent logaritmes decimals en tots dos membres i aïllant la incògnita $x$. Expressa el resultat final arrodonit a les mil·lèsimes.

El nivell d'intensitat sonora, mesurat en decibels (dB), es calcula amb la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat del so en $\text{W/m}^2$ i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el llindar mínim d'audició humana. Si el soroll del trànsit intens en una avinguda registra un nivell de $85$ dB, quina és la seva intensitat acústica $I$? Si un trepant d'obra emet amb el doble d'intensitat acústica que aquest trànsit, quants decibels exactes registrarà el sonòmetre?

La quantitat de carboni 14 ($C-14$) en una resta arqueològica orgànica segueix la llei de desintegració radioactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, on la constant de desintegració és $\lambda \approx 0,0001209$ i $t$ és el temps transcorregut en anys. Si en un fragment d'os prehistòric es detecta mitjançant anàlisi de laboratori que només queda un $30\,\%$ de la seva quantitat original de $C-14$ (és a dir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), quina és l'antiguitat estimada de l'os?

Simplifica la següent expressió logarítmica combinada i calcula el seu valor numèric exacte sense utilitzar la calculadora:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

En una coneguda xarxa social, el nombre de seguidors d'un compte de contingut viral creix seguint un model exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, on $t$ es mesura en dies. Es sap que el dia inicial ($t = 0$) el compte tenia $200$ seguidors i el dia $5$ va assolir els $6400$ seguidors. Calcula primer el valor exacte de la constant de creixement $k$. A continuació, determina en quin dia exacte superarà la barrera del milió de seguidors.

Resol el següent sistema d'equacions logarítmiques, trobant els valors de $x$ i $y$:

Demostra, utilitzant la fórmula del canvi de base i les propietats fonamentals dels logaritmes, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ per a qualsevol parell de nombres $a, b > 0$ i diferents de $1$. Una vegada demostrat, aplica aquest resultat per calcular mentalment el valor de $\log_8 2$ sabent prèviament que $\log_2 8 = 3$.

El gràfic següent representa el creixement poblacional de dues colònies de bacteris, A i B, en un laboratori. L'escala de l'eix vertical (que indica el nombre de bacteris $N(t)$) és logarítmica en base 10, mentre que l'eix horitzontal (temps en hores) és d'escala lineal. Observant la recta que descriu el comportament de la colònia A, troba la seva funció exponencial associada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabent que passa exactament pels punts $(0, 10^2)$ i $(4, 10^4)$. En quin instant $t$ la colònia A assolirà exactament el milió de bacteris ($10^6$)?

Per resoldre l'equació $\log_2 x + \log_4 x = 6$, dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode de l'Alejandro: Expressar $\log_4 x$ en base $2$ utilitzant la fórmula del canvi de base i aïllar $\log_2 x$.

• Mètode de la Berta: Transformar el primer terme fent servir la propietat $\log_2 x = \log_4 (x^2)$ per sumar directament els logaritmes en base $4$ mitjançant el logaritme d'un producte.

1. a) Desenvolupa completament la resolució seguint el mètode de l'Alejandro.
2. b) Demostra formalment que l'equivalència proposada per la Berta, $\log_2 x = \log_4 (x^2)$, és certa per a tot $x > 0$ mitjançant el canvi de base, i acaba de resoldre l'equació amb el seu procediment comprovant que arribes a la mateixa solució.
3. c) Compara ambdós camins: quin dels dos mètodes consideres més segur davant de possibles errors de domini o manipulació algebraica? Justifica la teva resposta.

L'Institut Geogràfic Nacional (IGN) va registrar una sèrie sísmica al sud d'Espanya en la qual van destacar dos moviments de terra: el sisme principal $T_1$, de magnitud $M_1 = 4{,}4$, i una rèplica posterior $T_2$, de magnitud $M_2 = 3{,}1$. La magnitud en l'escala de Richter es defineix com $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, on $A$ és l'amplitud màxima registrada pel sismògraf i $A_0$ és una amplitud de calibratge.

1. a) Demostra, aplicant propietats dels logaritmes, que el quocient entre les amplituds d'ambdós terratrèmols ve donat per $\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}$, sense necessitat de conèixer el valor d'$A_0$.
2. b) Calcula quantes vegades va ser més gran l'amplitud del moviment de terra de $T_1$ respecte a la de $T_2$.
3. c) Un tercer sisme $T_3$ va produir una amplitud d'ona exactament el triple de l'amplitud de $T_1$ ($A_3 = 3 \cdot A_1$). Sabent que $\log 3 \approx 0{,}477$, calcula la magnitud exacta $M_3$ d'aquest tercer terratrèmol i raona per què triplicar l'amplitud física del sisme no equival en absolut a triplicar la seva magnitud en l'escala Richter.

Repte del tema. Com es mesura l'energia d'un sisme? Analitza la relació no lineal entre magnitud i energia amb dades oficials.

1. Cerca de dades: Entra al catàleg de terratrèmols de l'IGN (ign.es) i anota tres sismes recents a Espanya amb magnituds aproximades $M_1 \approx 2,0$, $M_2 \approx 3,5$ i $M_3 \ge 4,5$.

2. Àlgebra i notació: L'energia alliberada (en joules) respon a $E = 10^{4,8} \cdot 10^{1,5M}$. Expressa $10^{1,5M}$ com a radical utilitzant potències d'exponent racional ($\sqrt{10^{3M}}$). Utilitza les propietats de les potències per calcular $E$ en notació científica per als teus tres valors i determina quantes vegades és més energètic $M_3$ que $M_1$.

3. Modelització digital: Aïlla $M$ per obtenir la funció logarítmica $M(E) = \frac{2}{3}(\log E - 4,8)$. Representa a GeoGebra aquesta funció i la seva inversa (radical o potència fraccionària).

4. Informe final: Redacta un document breu (una cara) que inclogui la taula de dades de l'IGN, els càlculs, la gràfica i una explicació de per què augments decimals de magnitud multipliquen dràsticament l'energia destructiva.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de dades reals de l'IGN i càlcul correcte de l'energia en notació científica.

• Domini algebraic precís entre exponents enters, racionals, radicals i logaritmes.

• Representació i interpretació gràfica adequada del model a GeoGebra.