Exercicis: Nombres racionals

Classifica les fraccions següents segons el tipus d'expressió decimal que generen (exacta, periòdica pura o periòdica mixta) sense fer la divisió: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ i $\frac{3}{14}$.

Calcula la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals següents: $3,45$ i $2,\widehat{7}$.

Classifica els nombres següents indicant el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.

Realitza la següent operació amb fraccions i simplifica el resultat: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.

Ordena de menor a major els nombres racionals següents: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.

En una recepta de resposteria es necessiten $\frac{3}{4}$ de quilo de farina per fer un pastís. Si disposes de $2,5$ kg de farina, quants pastissos complets pots fer i quina fracció de quilo et sobrarà?

Representa de manera exacta a la recta numèrica els nombres racionals $\frac{5}{3}$ i $-\frac{7}{4}$.

Troba dos nombres racionals diferents que estiguin compresos estrictament entre $\frac{2}{5}$ i $\frac{3}{5}$.

Per classificar el nombre decimal que genera la fracció $\frac{21}{140}$ sense fer la divisió, la Lucía descompon el denominador en factors primers: $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$. En observar que apareixen els factors $2$ i $5$ juntament amb el $7$, afirma amb rotunditat: «Com que al denominador apareix el factor $7$ acompanyant el $2$ i el $5$, la fracció genera necessàriament un decimal periòdic mixt». Explica detalladament l'error que ha comès la Lucía, indica quin pas previ i imprescindible va ometre i classifica de manera correcta l'expressió decimal d'aquesta fracció calculant el seu valor exacte.

Es busca construir fraccions irreductibles el denominador $d$ de les quals sigui un nombre natural estrictament comprès entre $20$ i $30$ ($20 < d < 30$):

1. a) Escriu una fracció irreductible que compleixi aquesta condició i l'expressió decimal de la qual sigui exacta.
2. b) Escriu una altra fracció irreductible que compleixi la condició però l'expressió decimal de la qual sigui periòdica pura.
3. c) Escriu una tercera fracció irreductible que compleixi la condició i l'expressió decimal de la qual sigui periòdica mixta.

En cadascun dels tres casos, justifica la teva resposta mitjançant la descomposició en factors primers del denominador que hagis triat.

Calcula la fracció generatriu irreductible del nombre decimal $4,1\widehat{36}$.

Realitza la següent operació passant prèviament els nombres decimals a fracció generatriu i simplifica el resultat: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.

Un agricultor ven $\frac{1}{3}$ de la seva collita de tomàquets al matí i $\frac{2}{5}$ de la resta a la tarda. Si encara li queden $480$ kg al magatzem, quants quilos de tomàquets va collir en total?

En mesurar la longitud d'una peça de fusta de $\frac{17}{3}$ cm exactes, un fuster anota un valor de $5,6$ cm. Calcula l'error absolut i l'error relatiu comesos en el mesurament, expressant els resultats com a fraccions irreductibles.

Determina el valor de $x$ perquè la fracció $\frac{x}{42}$ generi un nombre decimal exacte, sabent que $x$ és un nombre natural menor que $25$. Justifica la teva resposta utilitzant la descomposició en factors primers del denominador.

En un partit de bàsquet, una jugadora encistella $5$ de cada $8$ tirs lliures que llença. Si en tota la temporada ha fallat $24$ tirs lliures, quants n'ha llançat en total i quin és el seu percentatge d'encert expressat com a nombre decimal?

Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i deixant el resultat com una fracció irreductible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.

Per fabricar un perfum artesanal, es barregen $\frac{2}{5}$ de litre d'essència de lavanda amb $\frac{1}{4}$ de litre d'alcohol pur i la resta d'aigua destil·lada fins a completar un frasc de $1,5$ litres. Quina fracció del frasc representa l'aigua destil·lada?

Abans d'operar amb precisió l'expressió $E = 2,\widehat{6} \cdot 0,75 - 0,1\widehat{6}$:

1. a) Fes una estimació prèvia arrodonint cada nombre decimal a les dècimes i calcula mentalment el valor aproximat per preveure entre quins dos nombres enters consecutius estarà el resultat.
2. b) Determina la fracció generatriu irreductible de cadascun dels tres termes i calcula el valor exacte d'$E$, expressant el resultat final com una fracció irreductible.
3. c) Obtén l'expressió decimal del resultat exacte de l'apartat b, compara-la amb la teva estimació inicial i argumenta si el resultat obtingut és raonable o si denota algun error de càlcul.

A la línia C-5 de Cercanías de Madrid es fa un estudi de temps de transport. Un tren triga habitualment $12,1\widehat{6}$ minuts a cobrir el trajecte entre dues estacions, mentre que la línia d'autobús interurbà que fa el mateix recorregut empra $18,45$ minuts.

1. a) Modela el temps del tren expressant-lo com una fracció irreductible d'hora (recorda que $1\text{ hora} = 60\text{ minuts}$).
2. b) Durant una jornada de manteniment tècnic, el tren pateix una avaria que incrementa el seu temps de viatge en una tercera part respecte al seu temps habitual. Modela aquesta nova situació calculant el temps total del tren en minuts com una fracció irreductible i classifica el tipus de nombre decimal que representa.
3. c) Amb aquest increment de temps, continua sent el tren més ràpid que l'autobús? Justifica la teva resposta comparant formalment ambdues fraccions de temps en minuts mitjançant reducció a comú denominador.

Resol la següent operació combinada, expressant el resultat final com una fracció irreductible: $\frac{\left( 0,\widehat{3} + \frac{1}{2} \right)^{-1} \cdot 1,1\widehat{6}}{\sqrt{0,25} - \frac{1}{3}}$.

Demostra matemàticament, utilitzant l'algorisme per obtenir la fracció generatriu, que el nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{9}$ és exactament igual al nombre natural $1$.

Un sistema d'engranatges està format per tres rodes dentades. La primera roda dóna $\frac{15}{4}$ de volta per minut. La segona roda dóna $\frac{5}{2}$ de volta per cada volta que dóna la primera, i la tercera roda dóna $\frac{4}{3}$ de volta per cada volta que dóna la segona. Quantes voltes completes donarà la tercera roda en $8$ minuts?

Un dipòsit d'aigua per a reg té dos aixetes d'ompliment i un desguàs. La primera aixeta l'omple en $4$ hores, la segona aixeta l'omple en $6$ hores, i el desguàs el buida per complet en $8$ hores. Si s'obren tots tres alhora quan el dipòsit està buit, quina fracció del dipòsit s'omplirà en $1$ hora? Quant de temps trigarà a omplir-se per complet?

Una pilota de goma especial es deixa caure des d'una alçària inicial de $10$ metres. En cada bot aconsegueix una alçària igual als $\frac{3}{4}$ de l'alçària del bot anterior. Calcula l'alçària que aconseguirà en el quart bot i expressa-la com a nombre decimal exacte.

Troba un nombre racional positiu de la forma $\frac{a}{b}$ tal que en sumar-li el seu invers multiplicatiu s'obtingui com a resultat $\frac{25}{12}$.

Tres amics organitzen un torneig d'e-sports a la seva ciutat. El primer aporta $\frac{1}{4}$ del pressupost total, el segon aporta $\frac{2}{5}$ i el tercer aporta els $1\,400$ € restants. Al final, el torneig genera $850$ € d'ingressos per la venda d'entrades. Sabent que els ingressos es reparteixen de manera proporcional als diners aportats, quina fracció dels ingressos li correspon al segon amic i quina quantitat exacta de diners rebrà?

Determina tots els valors enters de $n$ per als quals la fracció algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un nombre enter.

Et demanen intercala exactament tres nombres racionals diferents compresos estrictament entre $\frac{5}{11}$ i $\frac{6}{11}$. Es plantegen dues estratègies de resolució:

• Mètode A (Punts mitjans successius): Calcular el punt mitjà $m_1 = \frac{a+b}{2}$ entre els extrems donats i, a continuació, els punts mitjans entre cada extrem i $m_1$.

• Mètode B (Amplificació directa): Multiplicar numerador i denominador d'ambdues fraccions per un nombre enter convenient per obrir un interval suficient entre numeradors enters consecutius.

1. a) Aplica tots dos mètodes per trobar, mitjançant cadascun d'ells, tres nombres racionals intercalats.
2. b) Compara el cost de càlcul de tots dos procediments i argumenta raonadament quin dels dos mètodes triaries si en comptes de tres nombres et demanessin intercala $50$ nombres racionals entre $\frac{5}{11}$ i $\frac{6}{11}$.
3. c) Recolzant-te en la propietat matemàtica que justifica el Mètode A, demostra per què en el conjunt dels nombres racionals $\mathbb{Q}$ manca de rigor matemàtic parlar del «nombre racional immediatament posterior a $\frac{5}{11}$».

Un nombre decimal periòdic mixt amb anteperíode no nul té la forma $0,a\widehat{b}$, on $a$ i $b$ representen xifres diferents del sistema decimal ($a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ i $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$). En simplificar al màxim la seva fracció generatriu s'obté una fracció irreductible $\frac{p}{30}$. Sabent que la diferència entre el període i l'anteperíode és $b - a = 3$:

1. a) Planteja l'expressió algebraica de la fracció generatriu en funció d'$a$ i $b$, i substitueix la condició $b = a + 3$ per simplificar-la en termes de la xifra $a$.
2. b) Analitza tots els possibles valors de la xifra $a$ que fan que el denominador irreductible sigui exactament $30$, determinant de manera única les xifres $a$ i $b$ i la fracció irreductible $\frac{p}{30}$.
3. c) Justifica a partir dels factors primers de $30$ per què el resultat és un decimal periòdic mixt. Quin tipus de nombre decimal s'hauria obtingut si s'hagués triat la parella de xifres $(a, b) = (6, 9)$? Justifica la teva resposta relacionant-la amb la propietat del període $9$.