Números racionales
En 3º ya trabajaste con fracciones y decimales. Ahora toca mirarlos con la precisión que vas a necesitar en Bachillerato: definir con exactitud qué es un número racional, demostrar por qué una fracción da un decimal exacto o periódico, y entender que entre dos racionales siempre cabe otro, por muy cerca que estén.
El conjunto $\mathbb{Q}$
Los naturales y los enteros son racionales particulares: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Por eso $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$: cada conjunto amplía al anterior sin perder ninguno de sus elementos.
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$;…
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
De fracción a decimal: ¿exacto o periódico?
Dividir el numerador entre el denominador siempre da un decimal, pero su naturaleza depende solo de los factores primos del denominador de la fracción irreducible.
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$,…
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.
La fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico se puede escribir como fracción: esa fracción es su generatriz. El método se basa en multiplicar por potencias de 10 para que la parte periódica "se cancele" al restar.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4,1\widehat{36}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4,1\widehat{36}$.
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al…
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.
Operaciones combinadas con racionales
Las fracciones y los decimales periódicos se operan igual que en 3º, pero ahora conviene pasar todo a fracción antes de operar, sobre todo si hay potencias, raíces o paréntesis anidados: así el resultado es exacto, sin redondeos.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Orden y densidad de $\mathbb{Q}$
Entre dos racionales distintos, por muy próximos que parezcan, siempre hay infinitos racionales más. Esta propiedad se llama densidad.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.