Números irracionales
Sabes que $\sqrt{4} = 2$ es exacto. Pero, ¿cuánto vale $\sqrt{2}$? La calculadora da $1,4142135\ldots$ y nunca se acaba ni se repite. Esto no es una limitación de la calculadora: se puede demostrar que $\sqrt{2}$ jamás se podrá escribir como una fracción.
Qué es un número irracional
Hay tres familias típicas de irracionales en este curso: raíces no exactas ($\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$), constantes como $\pi$ o el número de Euler $e$, y decimales construidos a propósito sin período, como $0,1010010001\ldots$
Clasifica los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifica tu respuesta basándote en su expresión…
Clasifica los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifica tu respuesta basándote en su expresión decimal:
- a) $3,14159$
- b) $\sqrt{7}$
- c) $\frac{22}{7}$
- d) $1,1010010001...$
- e) $\sqrt{25}$
Identifica qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explica por qué se considera un número irracional: $x = 0,12345678910111213...$
Identifica qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explica por qué se considera un número irracional:
$x = 0,12345678910111213...$
La irracionalidad de $\sqrt{2}$: una demostración
Esta es una de las demostraciones más antiguas de las matemáticas (los griegos ya la conocían). Usa el método de reducción al absurdo: suponemos lo contrario de lo que queremos probar y llegamos a una contradicción.
En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm, como se muestra en la figura. Sabiendo que en un…
En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm, como se muestra en la figura.
Sabiendo que en un triángulo equilátero el radio $R$ es el doble de la apotema $a$, calcula el valor exacto de la apotema $a$. Luego, utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud exacta del lado $L$. Demuestra que el perímetro del triángulo es un número irracional.
Construcción geométrica con el teorema de Pitágoras
Aunque $\sqrt{2}$ no sea una fracción, sí ocupa un punto exacto de la recta real: se construye con un triángulo rectángulo y un compás.
Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados…
Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados sumen $13$. Indica cuáles son esos dos números y dibuja un boceto mental de cómo formarías el triángulo rectángulo.
Observa la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal. Calcula el valor exacto de la…
Observa la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal.
Calcula el valor exacto de la hipotenusa $h$. ¿Qué número irracional representa el punto rojo $X$ sobre la recta numérica?
Operando con irracionales
Las operaciones entre irracionales no siempre dan irracional: depende de si se "cancelan" entre sí.
Calcula el resultado de las siguientes operaciones y clasifica el resultado final como racional o irracional: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$ c)…
Calcula el resultado de las siguientes operaciones y clasifica el resultado final como racional o irracional:
- a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
- b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
- c) $(\sqrt{5})^2$
- d) $\pi - \pi$
En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".…
En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".
Encuentra dos números irracionales distintos cuya suma sea un número racional entero y demuestra con operaciones algebraicas sencillas que esto es posible.
$\mathbb{R}$: racionales e irracionales juntos
Igual que $\mathbb{Q}$ es denso, los irracionales también lo son: entre dos números reales cualesquiera hay siempre infinitos racionales e infinitos irracionales. Por eso la recta real no tiene huecos: cada punto, racional o irracional, corresponde a un único número real, y viceversa.
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes ayudarte de sus aproximaciones decimales: $3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ ,…
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes ayudarte de sus aproximaciones decimales:
$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$