Exercicis: Nombres irracionals

Classifica els nombres següents indicant quins pertanyen al conjunt dels nombres irracionals i quins no. Justifica la teva resposta basant-te en la seva expressió decimal:

1. a) $3,14159$
2. b) $\sqrt{7}$
3. c) $\frac{22}{7}$
4. d) $1,1010010001...$
5. e) $\sqrt{25}$

Determina si les afirmacions següents són verdaderes o falses.

1. a) Tots els nombres decimals amb infinites xifres són irracionals.
2. b) La rel quadrada de qualsevol nombre natural és un nombre irracional.
3. c) El nombre $\pi$ es pot escriure exactament com una fracció.
4. d) La suma d'un nombre racional i un nombre irracional sempre és irracional.

Per representar el nombre irracional $\sqrt{13}$ a la recta numèrica utilitzant el teorema de Pitàgores, necessitem trobar dos nombres enters els quadrats dels quals sumin $13$. Indica quins són aquests dos nombres i dibuixa un esbós mental de com formaries el triangle rectangle.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Trunca i arrodoneix el nombre irracional $\sqrt{11} = 3,31662479...$ a les centèsimes i a les mil·lèsimes. Organitza els resultats en una taula.

Identifica quin patró segueixen les xifres decimals del nombre següent i explica per què es considera un nombre irracional:

$x = 0,12345678910111213...$

El nombre d'or, representat per la lletra grega $\Phi$ (Fi), té un valor exacte de $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utilitza la teva calculadora per trobar la seva expressió decimal i escriu les primeres sis xifres decimals. Es tracta d'un nombre racional o irracional?

Calcula el resultat de les operacions següents i classifica el resultat final com a racional o irracional:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $(\sqrt{5})^2$
4. d) $\pi - \pi$

Ordena de menor a major els nombres reals següents. Per fer-ho, pots ajudar-te de les seves aproximacions decimals:

$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$

En un debat de classe sobre la classificació de nombres decimals, en Carlos afirma rotundament:

«El nombre $x = 0,202002000200002\ldots$ té una regla claríssima de formació: cada vegada s'afegeix un zero més entre els dosos. Com que segueix un patró regular i totalment predictible, és un decimal periòdic i, per tant, es pot escriure com a fracció irreductible, cosa que demostra que pertany a $\mathbb{Q}$».

1. a) Detecta l'error conceptual en l'afirmació d'en Carlos i explica per què confon un patró de formació amb la periodicitat decimal.
2. b) Classifica justificadament el nombre $x$ com a racional o irracional a partir de la definició de nombre irracional donada als apunts.
3. c) Escriu l'expressió decimal d'un nombre que utilitzi exclusivament els dígits $0$ i $2$, però que SÍ que sigui un nombre racional periòdic pur, indicant clarament el seu període i la seva fracció generatriu irreductible.

Als apunts s'indica que operar amb nombres irracionals no sempre dona com a resultat un altre nombre irracional. Dissenya els nombres demanats en cada cas justificant la teva resposta mitjançant el càlcul explícit:

1. a) Escriu dos nombres irracionals diferents, $a$ i $b$, de manera que la seva suma $a + b$ sigui un nombre enter i el seu producte $a \cdot b$ sigui també un nombre racional. (Pista: utilitza expressions conjugades amb radicals).
2. b) Escriu dos nombres irracionals positius, $c$ i $d$, tals que el seu producte $c \cdot d$ sigui un nombre racional, però el seu quocient $\frac{c}{d}$ sigui un nombre irracional.
3. c) Demostra que la teva elecció a l'apartat b compleix totes dues condicions simplificant els radicals pas a pas.

Un camp de futbol té unes dimensions de $100$ m de llarg per $50$ m d'ample. L'equip de manteniment necessita traçar una canonada de reg que creui el camp en diagonal. Calcula la longitud exacta de la canonada utilitzant radicals. Aquesta longitud és un nombre racional o irracional? Aproxima el resultat a dues xifres decimals per saber quants metres de canonada han de comprar.

La proporció àuria s'utilitza sovint en l'art i l'arquitectura. Un marc per a un quadre s'ha dissenyat de manera que sigui un «rectangle auri». Si el costat menor del marc mesura $20$ cm, el costat major ha de mesurar $20 \cdot \Phi$ cm, sent $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Calcula la longitud exacta del costat major i la seva aproximació en centímetres arrodonida a les dècimes.

El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple, és a dir, el temps que triga a fer una oscil·lació completa, es calcula amb la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud de la corda en metres i $g$ és l'acceleració de la gravetat ($9,8$ m/s$^2$). Calcula el període exacte d'un pèndol de $9,8$ metres de longitud. El resultat és un nombre racional o irracional?

Observa la següent representació gràfica a la recta numèrica. S'ha construït un triangle rectangle recolzat sobre l'eix horitzontal.

Calcula el valor exacte de la hipotenusa $h$. Quin nombre irracional representa el punt vermell $X$ sobre la recta numèrica?

En una fàbrica de peces mecàniques, s'ha de tallar una planxa circular el radi de la qual és exactament de $40$ cm. El torn automàtic necessita que s'introdueixi el perímetre de la circumferència per fer el tall.

1. a) Quin és el perímetre exacte de la peça?
2. b) Si l'operari introdueix el valor aproximat fent servir $\pi = 3,14$, quin és l'error absolut que comet respecte al valor real (fent servir totes les xifres de $\pi$ a la calculadora)?

En el beisbol, les bases formen un quadrat perfecte de $90$ peus de costat ($27,43$ metres). Quan el receptor llança la pilota des de la base de «home» (inici) fins a la segona base per evitar un robatori de base, la pilota creua el camp en diagonal. Calcula la distància exacta en metres que recorre la pilota. És una quantitat racional o irracional?

Una empresa de tecnologia està dissenyant una nova pantalla de televisió. Volen que la relació entre l'amplada i l'alçària sigui exactament $\sqrt{2}$ perquè, en dividir la pantalla per la meitat, els dos rectangles resultants mantinguin la mateixa proporció (com passa amb els folis de mida DIN A4). Si l'alçària de la pantalla serà de $50$ cm, quina ha de ser la seva amplada exacta? Aproxima el resultat als mil·límetres.

Per construir un rusc artificial, un apicultor dissenya cel·les amb forma d'hexàgon regular. Sabent que l'àrea d'un hexàgon regular de costat $L$ es calcula amb la fórmula $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$, calcula l'àrea exacta d'una cel·la si el seu costat mesura $4$ mm. Es tracta d'un nombre racional o irracional?

Considera el nombre real $\alpha = 3\sqrt{5} - 2$.

1. a) Estima: Sense utilitzar la calculadora i sense trobar decimals per tempteig, determina de manera raonada entre quins dos nombres enters consecutius es troba exactament $\alpha$. Per aconseguir-ho, transforma primer $\alpha$ en $\sqrt{45} - 2$, acota el valor de $\sqrt{45}$ identificant els dos quadrats perfectes més propers i aplica les operacions corresponents als extrems de la desigualtat.
2. b) Comprova: Utilitza la calculadora per obtenir l'aproximació decimal de $\alpha$ amb dues xifres decimals i comprova si la teva cota sencera de l'apartat anterior era correcta.
3. c) Raona: Demostra que $\alpha$ és un nombre irracional sabent que $\sqrt{5}$ ho és. (Pista: utilitza una breu reducció a l'absurd: suposa que $\alpha = \frac{p}{q}$ amb $p, q \in \mathbb{Z}$ i $q \neq 0$, i aïlla $\sqrt{5}$ per arribar a una contradicció).

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) instal·larà una estació de monitoratge al Parc Nacional de la Sierra de Guadarrama. La torre principal té una alçària vertical de $12\text{ m}$ i s'ha de subjectar amb cables tensors ancorats a terra a $5\text{ m}$ de la seva base. A més, per a un pal secundari de $8\text{ m}$ d'alçària, es col·locarà un tirant ancorat a $4\text{ m}$ de la seva base.

1. a) Modela la situació calculant la longitud exacta del cable tensor de la torre principal ($L_1$) i la del pal secundari ($L_2$) aplicant el Teorema de Pitàgores. Expressa tots dos resultats de forma exacta (amb radicals simplificats al màxim).
2. b) Classifica $L_1$ i $L_2$ indicant si pertanyen a $\mathbb{Q}$ o a $\mathbb{I}$. Justifica la teva resposta analitzant si els radicands obtinguts són o no quadrats perfectes a partir de la seva descomposició factorial en primers.
3. c) Si la colla disposa d'un rotlle de cable d'acer de $40\text{ m}$ per tallar 4 tirants iguals de longitud $L_2$, quants metres de cable sobraran del rotlle després de tallar-los? Arrodoneix la longitud de cada tirant a dues xifres decimals per respondre.

En el disseny d'un logotip s'utilitza un triangle equilàter inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm, com es mostra a la figura.

Sabent que en un triangle equilàter el radi $R$ és el doble de l'apotema $a$, calcula el valor exacte de l'apotema $a$. Després, utilitza el teorema de Pitàgores per trobar la longitud exacta del costat $L$. Demostra que el perímetre del triangle és un nombre irracional.

Es vol tancar una parcel·la circular de $100$ m$^2$ d'àrea i una parcel·la quadrada que també té $100$ m$^2$ d'àrea.

1. a) Calcula el perímetre exacte de totes dues parcel·les. (Recorda que l'àrea del cercle és $A = \pi r^2$).
2. b) Si la tanca costa $15$ € el metre, quina parcel·la serà més barata de tancar? Utilitza tots els decimals de la teva calculadora per donar el cost exacte en euros de cadascuna.

Observa el següent cub de costat $a = 5$ cm. La diagonal d'una de les seves cares es diu $d$, i la diagonal principal que creua el cub per l'interior es diu $D$.

Calcula el valor exacte de la diagonal de la base ($d$) i, utilitzant-la com a catet juntament amb l'alçària del cub, calcula la longitud exacta de la diagonal principal ($D$). És possible que en un cub d'aresta entera la seva diagonal principal sigui un nombre racional?

En una classe de matemàtiques, el professor proposa el següent repte: «Si a un nombre irracional li sumem un altre nombre irracional, el resultat sempre és irracional?».

Troba dos nombres irracionals diferents la suma dels quals sigui un nombre racional enter i demostra amb operacions algebraiques senzilles que això és possible.

La famosa «espiral de Teodor» es construeix dibuixant triangles rectangles contigus. El primer té catets de longitud $1$. La hipotenusa d'aquest triangle serveix com a catet del següent, l'altre catet del qual torna a mesurar $1$, i així successivament.

Calcula el valor exacte de les hipotenuses $h_1$, $h_2$ i $h_3$. Seguint aquest patró lògic, quin serà el valor exacte de la hipotenusa $h_8$ del vuitè triangle? És racional o irracional?

En una pràctica de laboratori, la quantitat de producte obtingut en una reacció química, en mil·ligrames, segueix la fórmula $P = 2 \cdot e^t$, on $t$ és el temps en hores i $e$ és el nombre irracional d'Euler ($e \approx 2,71828$).

Calcula la quantitat estimada a les $3$ hores fent servir el valor de $e$ de la teva calculadora. Si per error un alumne va utilitzar l'aproximació $e = 2,7$, quants mil·ligrames de diferència hi haurà respecte al càlcul més precís?

Sabent que l'àrea d'un cercle és $A = \pi \cdot r^2$, imagina que volem construir un quadrat que tingui exactament la mateixa àrea que un cercle de radi $10$ cm. (Aquest és l'antic problema matemàtic de la quadratura del cercle).

Troba l'expressió exacta de la longitud del costat d'aquest quadrat. És possible mesurar amb un regle graduat en mil·límetres aquest costat de manera exacta al món real? Justifica la teva resposta.

Considera la successió de nombres formada en escriure zeros i uns de la manera següent: comencem amb un $0,1$, després afegim un $0$ i un $1$, després dos $0$ i un $1$, després tres $0$ i un $1$, i així successivament fins a l'infinit.

El nombre resultant és $N = 0,101001000100001...$

Analitza l'estructura d'aquest nombre i justifica de forma raonada per què $N$ pertany al conjunt dels nombres irracionals i no es pot expressar com una fracció $\frac{a}{b}$.

Per representar de forma exacta sobre la recta numèrica el nombre irracional $\sqrt{13}$ utilitzant regle i compàs, tres estudiants proposen mètodes diferents basats en el Teorema de Pitàgores:

• Mètode A (Espiral de Teodor): Partir d'un triangle rectangle de catets $1$ i $1$ (hipotenusa $\sqrt{2}$), aixecar sobre aquesta hipotenusa un catet perpendicular de longitud $1$ per obtenir $\sqrt{3}$, i continuar successivament aquest procés encadenat fins a assolir $\sqrt{13}$.

• Mètode B (Suma directa de dos quadrats): Cercar dos quadrats perfectes la suma dels quals sigui $13$ ($13 = 3^2 + 2^2$) i traçar sobre els eixos un únic triangle rectangle amb catets de longituds $3$ i $2$.

• Mètode C (Diferència de quadrats): Cercar una hipotenusa sencera $c$ i un catet sencer $a$ tals que $c^2 - a^2 = 13$ (per exemple, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$) i traçar aquest triangle rectangle.

1. a) Compara els tres mètodes valorant la seva rapidesa i el risc d'acumular errors geomètrics de traçat al quadern. Justifica quin d'ells és el més eficient i precís.
2. b) Explica pas a pas com s'utilitza el compàs en el Mètode B per situar amb total exactitud la posició del nombre $\sqrt{13}$ a la recta numèrica real.
3. c) Es pot aplicar sempre el Mètode B a qualsevol arrel $\sqrt{n}$ amb $n \in \mathbb{N}$ que no sigui un quadrat perfecte? Justifica la teva resposta trobant un contraexemple d'un nombre natural $n < 10$ que no es pugui expressar com a suma de dos quadrats de nombres enters positius, i explica com representaries aquest cas particular de forma exacta.

L'Hugo vol posar a prova la solidesa de la demostració per reducció a l'absurd de la irracionalitat de $\sqrt{2}$ que va veure a classe. Per a fer-ho afirma:

«Si la demostració és vàlida per a $\sqrt{2}$, puc utilitzar els mateixos passos per demostrar que $\sqrt{4}$ també és irracional. Com que la demostració arriba a una contradicció, $\sqrt{4}$ hauria de ser irracional!».

L'Hugo escriu a la pissarra el seu raonament:

1. Suposem per contradicció que $\sqrt{4}$ és racional, és a dir, $\sqrt{4} = \dfrac{a}{b}$ amb $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$ i amb $\dfrac{a}{b}$ fracció irreductible (sense factors comuns).

2. Elevant al quadrat: $4 = \dfrac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 4b^2$.

3. Com que $a^2$ és múltiple de $4$, aleshores $a$ ha de ser necessàriament múltiple de $4$. Per tant, $a = 4k$ per a algun enter $k$.

4. Substituint: $(4k)^2 = 4b^2 \Rightarrow 16k^2 = 4b^2 \Rightarrow b^2 = 4k^2$.

5. Pel mateix argument del pas 3, $b^2$ és múltiple de $4$, de manera que $b$ també ha de ser múltiple de $4$.

6. Per tant, $a$ i $b$ comparteixen el factor comú $4$, cosa que contradiu que $\dfrac{a}{b}$ fos irreductible. Conclusió: $\sqrt{4}$ és irracional.

1. a) Tots sabem que $\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$. Identifica el pas exacte en què l'Hugo comet un error lògic i matemàtic fonamental. Justifica per què la seva afirmació en aquest pas és falsa aportant un contraexemple numèric concret amb un nombre natural.
2. b) Explica amb rigor per què en la demostració per a $\sqrt{2}$ el pas anàleg («si $a^2$ és parell, aleshores $a$ és parell») sí que és vertader, mentre que amb el nombre $4$ no funciona. Quina propietat aritmètica sobre els factors primers diferencia el $2$ del $4$?
3. c) Si corregeixes el raonament de l'Hugo deduint quina divisibilitat real es desprèn sobre $a$ a partir de la igualtat $a^2 = 4b^2$, mostra què passa en substituir a l'equació i explica per què desapareix per complet la suposada contradicció.