Exercicis: Intervals, semirrectes i entorns

Observa la representació gràfica del conjunt de nombres reals següent i expressa'l utilitzant notació d'interval i en forma de desigualtat.

Expressa mitjançant un interval la desigualtat següent i representa-la de manera aproximada en una recta numèrica: $-3 < x \le 5$.

Escriu en forma d'entorn $E(a, r)$ l'interval obert $(2, 10)$.

Expressa l'entorn $E(-1, 4)$ com un interval i tradueix-lo a una desigualtat.

Indica quins dels nombres següents pertanyen a l'interval $[-1,5; 3)$:

$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$

Escriu en forma de semirecta el conjunt de tots els nombres reals que són menors o iguals que $7$.

Expressa en forma de desigualtat i mitjançant un interval el conjunt de nombres reals la distància dels quals al zero és estrictament menor que $5$.

Associa cadascuna de les frases següents amb el seu interval matemàtic corresponent:

• "Temperatures sota zero."

• "Edats entre 12 i 16 anys, ambdós inclosos."

• "Preus superiors a 50 euros."

En un examen, en Marcos ha d'expressar com a unió d'intervals el conjunt de nombres reals que compleixen $|x - 2| > 4$. En Marcos escriu:

«Com que el centre és $2$ i el radi és $4$, calculo $2 - 4 = -2$ i $2 + 4 = 6$. Per tant, la solució és l'interval obert $(-2, 6)$».

1. a) Explica quin error conceptual comet en Marcos en interpretar la desigualtat amb valor absolut en termes de distància.
2. b) Corregeix la seva resolució i escriu el conjunt solució correcte mitjançant la unió de dues semirrectes en notació d'intervals.

Un conjunt de nombres reals ve donat per la unió de semirrectes $(-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$.

1. a) Calcula el punt mitjà (centre) i la distància des d'aquest centre als extrems $-1$ i $7$ (radi).
2. b) Escriu una desigualtat amb valor absolut de la forma $|x - a| > r$ la solució de la qual coincideixi exactament amb aquest conjunt.
3. c) Quin signe de desigualtat hauries de canviar, i per quin altre, perquè el conjunt solució passi a ser l'interval tancat $[-1, 7]$? Justifica la teva resposta.

En l'àmbit de la nutrició, es considera que l'Índex de Massa Corporal (IMC) és saludable si es troba en l'interval $[18,5; 24,9]$. Expressa aquest rang en forma d'entorn tancat, calculant prèviament el seu centre i el seu radi.

Una màquina produeix eixos d'acer la longitud ideal dels quals és de $120\text{ mm}$. El control de qualitat permet un error màxim de $0,5\text{ mm}$. Expressa el rang de longituds permeses com un entorn, com una desigualtat amb valor absolut i, finalment, com un interval.

Donats els intervals $A = [-4, 3)$ i $B = (0, 6]$, determina l'interval resultant de la unió $A \cup B$ i de la intersecció $A \cap B$.

En un aquari, els peixos pallasso viuen bé a temperatures compreses en l'interval $(24, 28]$ ºC, mentre que els peixos àngel les necessiten en l'interval $[26, 30)$ ºC. Determina en quin interval de temperatures poden conviure totes dues espècies i expressa-ho com una desigualtat.

Troba tots els nombres enters que pertanyen simultàniament als intervals $(-3,2; 4]$ i $[0; 5,1)$.

Expressa mitjançant valor absolut el conjunt de nombres reals la distància dels quals al nombre $-2$ és menor o igual que $6$, i escriu l'interval resultant.

El preu d'un videojoc en una botiga en línia va oscil·lar durant la setmana dins de l'entorn $E(24,5; 1,8)$ euros. Determina el preu màxim i mínim que va assolir el videojoc i expressa-ho com un interval tancat.

Resol la inequació amb valor absolut $|x - 4| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval i d'entorn.

Un laboratori farmacèutic envasa sèrum fisiològic en vials. El volum nominal ha de ser de $100\text{ ml}$, i el control de qualitat intern considera acceptable qualsevol vial el volum $V$ del qual compleixi $|V - 100| \le 1,5$. D'altra banda, la màquina de calibratge de la línia de distribució rebutja automàticament qualsevol vial que no pertanyi a l'interval $[99; 101,2]$.

1. a) Abans de calcular els extrems numèrics exactes, estima raonadament si la màquina distribuïdora acceptarà tots els vials aprovats pel laboratori o si en descartarà alguns. Justifica la teva predicció a partir dels centres i marges de tolerància de tots dos criteris.
2. b) Expressa el criteri del laboratori com un interval i calcula la intersecció entre tots dos conjunts, indicant què representa aquest resultat en el context del problema.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada i determina el rang de volums que, tot i ser vàlids per al laboratori, són rebutjats per la màquina distribuïdora.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) estableix els següents nivells d'avís per calor en una comarca segons la temperatura màxima prevista $T$ (en $^{\circ}\text{C}$):

• Nivell verd (sense risc): $T < 36$

• Nivell groc (risc baix): $36 \le T < 39$

• Nivell taronja (risc important): $39 \le T < 42$

• Nivell vermell (risc extrem): $T \ge 42$

Per als primers dies d'agost, els models meteorològics indiquen que la temperatura màxima complirà la condició $|T - 38,5| \le 2,5$.

1. a) Tradueix la previsió meteorològica a un únic interval tancat i expressa-la també en forma de desigualtat doble.
2. b) Determina quins nivells d'avís de l'AEMET s'arribaran a activar segons aquesta previsió i escriu el subinterval de temperatures associat a cada nivell activat.
3. c) Les ordenances municipals prohibeixen les obres a la via pública si s'activa el nivell taronja o vermell. Per a quin interval de temperatures de la previsió estarà prohibit fer obres?

Un pont està dissenyat per suportar càrregues $C$ (en kg) que compleixin la condició $|C - 4500| \le 1500$. D'altra banda, una normativa local prohibeix el pas de vehicles que superin els $5500\text{ kg}$. Determina l'interval real de càrregues que poden circular pel pont complint totes dues condicions.

Siguin els conjunts $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ i $K = [3, 8]$. Calcula l'interval resultant de l'operació $(I \cap J) \cup K$.

Expressa l'interval tancat $[3,2; 8,8]$ en forma d'entorn $E(a, r)$ i, a continuació, tradueix-lo a una desigualtat amb valor absolut de la forma $|x - a| \le r$. Explica breument què representen els paràmetres $a$ i $r$ geomètricament en la recta real.

Perquè l'aigua d'una piscina sigui segura, el seu pH ha d'estar estrictament en l'interval $[7,2; 7,6]$. Si disposem d'un mesurador electrònic que té un error absolut màxim de $0,1$, determina en quin interval ha de donar la lectura l'aparell perquè tinguem la certesa absoluta que el pH real és segur. Expressa-ho també com a entorn.

Troba l'interval de nombres reals $x$ que compleixen simultàniament les inequacions $3x - 2 < 7$ i $5 - x < 4$. Un cop trobat, expressa'l com a entorn.

Un fabricant de cargols accepta aquells la longitud $L$ (en mm) dels quals compleix la condició $|L - 30| < 0,5$. Es rep un lot de cargols les longituds dels quals varien uniformement en l'interval $[29,2; 30,8]$. Quin percentatge del rang de longituds d'aquest lot serà rebutjat pel control de qualitat?

La "zona d'habitabilitat" d'una estrella nana vermella es defineix mitjançant un entorn de centre $0,8\text{ UA}$ i radi $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta té una òrbita el·líptica la distància de la qual a l'astre varia en l'interval $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Determina quins intervals de l'òrbita del planeta queden fora de la zona d'habitabilitat.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè l'interval solució de la inequació $|x - k| \le 5$ tingui com a extrem superior el nombre $12$. Un cop calculat $k$, indica quin és l'extrem inferior de l'interval i expressa'l en forma d'entorn.

Per resoldre la inequació amb valor absolut $|x - 4| \le 3$ i expressar-la com un interval, dues alumnes segueixen estratègies diferents:

• Camí 1 (Geomètric): L'Andrea interpreta $|x - 4| \le 3$ com «els nombres que tenen una distància al $4$ menor o igual que $3$». Identifica el centre $c = 4$ i el radi $r = 3$, i obté $[4 - 3, 4 + 3] = [1, 7]$.

• Camí 2 (Algebraic): La Berta planteja la doble inequació $-3 \le x - 4 \le 3$ i suma $4$ als tres membres per aïllar $x$, i obté $1 \le x \le 7$, és a dir, $[1, 7]$.

1. a) Compara tots dos camins aplicant-los a la inequació $|x + 2| < 5$. Explica com actua cadascun i comprova que tots dos condueixen al mateix interval.
2. b) Resol ara la inequació $|2x - 5| \le 3$ utilitzant tots dos mètodes. Al Camí 1, indica quina transformació algebraica prèvia has de fer per poder identificar el centre i el radi a la recta real.
3. c) A la vista de l'apartat anterior, analitza els avantatges i els inconvenients de cada mètode quan el coeficient de la incògnita $x$ no és $1$. Justifica quin dels dos camins resulta més convenient i segur en aquest cas.

Considera el conjunt $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 3| < 5\}$ i l'interval tancat $B = [p, q]$, on $p$ i $q$ són nombres reals amb $p < q$.

1. a) Expressa el conjunt $A$ com un interval obert i troba el seu punt mitjà (centre) i la seva longitud.
2. b) Determina raonadament els valors exactes de $p$ i $q$ perquè es compleixin simultàniament aquestes dues condicions:

1. La intersecció $A \cap B$ és exactament l'interval semiobert $[1, 8)$.

2. La longitud de l'interval $B$ és igual a $10$.

1. c) Amb els valors trobats per a $p$ i $q$, calcula la unió $A \cup B$ i justifica per què el conjunt resultant és un únic interval connex i no dos intervals separats.

Repte del tema. T'has preguntat quines matemàtiques sostenen els objectes que fas servir diàriament per estudiar? Investiga la naturalesa numèrica de les teves pantalles i materials.

1. Mesurament: Mesura amb un regle la llargària i l'amplària (en cm) d'un full DIN-A4 i de la pantalla del teu mòbil o ordinador.

2. Anàlisi numèrica: Obre un full de càlcul i calcula la raó llargària/amplària de tots dos objectes. Investiga els valors teòrics normatius: la proporció ISO 216 del paper ($\sqrt{2}$) i l'estàndard de la teva pantalla (habitualment $16/9$). Classifica'ls justificadament en racionals o irracionals segons el seu desenvolupament decimal.

3. Control de precisió: Consulta les mesures oficials del fabricant de la teva pantalla i les de l'estàndard A4 ($29,7 \times 21,0\text{ cm}$). Calcula al full de càlcul l'error absolut i l'error relatiu percentual comesos en els teus mesuraments, fitant i arrodonint els resultats a dues xifres decimals amb coma ($0,01\%$).

4. Informe final: Presenta una taula comparativa i una breu reflexió: per què creus que el paper es dissenya amb un irracional i els formats de vídeo amb una fracció racional?

Es valorarà:

• Classificació matemàtica correcta i argumentada dels nombres racionals i irracionals.

• Precisió en el càlcul d'aproximacions, error absolut i relatiu al full de càlcul.

• Qualitat de l'informe, rigor en l'ús de la coma decimal i coherència en les conclusions.